Hierarchie für BPP vs. Derandomisierung

In einem Satz: Würde die Existenz einer Hierarchie für irgendwelche implizieren?$\mathsf{BPTIME}$

Eine verwandte, aber vage Frage lautet: Bedeutet die Existenz einer Hierarchie für irgendwelche schwierigen Untergrenzen? Trifft die Lösung dieses Problems auf eine bekannte Barriere in der Komplexitätstheorie?$\mathsf{BPTIME}$

Meine Motivation für diese Frage ist es, die relative Schwierigkeit (in Bezug auf andere große offene Probleme in der Komplexitätstheorie) zu verstehen, eine Hierarchie für . Ich gehe davon aus, dass alle glauben, dass es eine solche Hierarchie gibt, aber bitte korrigieren Sie mich, wenn Sie etwas anderes denken.$\mathsf{BPTIME}$

Einige Hintergrundinformationen : enthält die Sprachen, deren Zugehörigkeit von einer probabilistischen Drehmaschine in der Zeit mit begrenzter Fehlerwahrscheinlichkeit entschieden werden kann. Genauer gesagt, eine Sprache wenn es eine Wahrscheinlichkeits-Turing-Maschine so dass für jedes die Maschine in der Zeit läuft. und nimmt mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens und für jeden , läuft in der Zeit und weist mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens .f ( n ) L ∈ B P T I M E ( f ( n ) ) T x ∈ L T O ( f ( | x | ) ) 2 / 3 x ∉ L T O ( f ( | x | ) ) $\mathsf{BPTIME}(f(n))$$f(n)$$L \in \mathsf{BPTIME}(f(n))$$T$$x \in L$$T$$O(f(|x|))$$2/3$$x \not \in L$$T$$O(f(|x|))$$2/3$

Bedingungslos ist offen, ob für alle . Barak hat gezeigt, dass es eine strenge Hierarchie für für Computer mit . Fortnow und Santhanam verbesserten dies auf einen Ratschlag. Dies lässt mich denken, dass ein Beweis für die Existenz einer wahrscheinlichkeitstheoretischen Zeithierarchie nicht so weit entfernt ist. Auf der anderen Seite ist das Ergebnis noch offen und ich kann nach 2004 keine Fortschritte feststellen. Referenzen finden Sie wie gewohnt im Zoo .c > 1 B P T I M E O ( log n $\mathsf{BPTIME}(n^c) \subseteq \mathsf{BPTIME}(n)$$c > 1$$\mathsf{BPTIME}$$O(\log n)$

Die Beziehung zur Derandomisierung ergibt sich aus den Ergebnissen von Impagliazzo und Wigderson: Sie zeigten, dass unter einer plausiblen Komplexitätsannahme für jede Konstante und eine Konstante . Nach den klassischen Zeithierarchiesätzen für die deterministische Zeit impliziert dies eine Zeithierarchie für die probabilistische Zeit. Ich stelle die umgekehrte Frage: Stößt eine probabilistische Hiearchie gegen eine Barriere, die mit dem Nachweis von Derandomisierungsergebnissen zusammenhängt?d $\mathsf{BPTIME}(n^d) \subseteq \mathsf{DTIME}(n^c)$$d$$c$

Wenn jemand Beobachtungen darüber hat, was zwischen uns steht und die Existenz einer Hierarchie für probabilistische Zeit beweist, kann er gerne antworten / kommentieren. Natürlich ist die offensichtliche Antwort, dass eine semantische Definition hat, die klassischen Techniken widerspricht. Ich interessiere mich für weniger offensichtliche Beobachtungen.$\mathsf{BPTIME}$

Sei PTH die Hypothese, dass es eine probabilistische Zeithierarchie gibt. Angenommen, die Antwort auf Ihre Frage ist wahr, dh "PTH impliziert " für ein festes . Dann wäre unbedingt wahr. Betrachten Sie zwei Fälle:$BPP \subseteq TIME[2^{n^{c}}]$$c$$EXP \neq BPP$

• Wenn PTH false ist, dann . Dies ist das Gegenteil von dem, was Lance bemerkt hat.$EXP \neq BPP$
• Wenn PTH wahr ist, dann impliziert "PTH ", also wieder .$BPP \subseteq TIME[2^{n^{c}}]$$EXP \neq BPP$

Tatsächlich würde sogar eine unendlich oft auftretende Derandomisierung von BPP unter PTH bedingungslos mit sich bringen. Unabhängig davon, welche Hindernisse für den Nachweis von E X P ≠ B P P gelten, gelten sie für den Nachweis von Aussagen der Art "PTH impliziert Derandomisierung".$EXP \neq BPP$$EXP \neq BPP$

Es ist nicht schwer, eine probabilistische Zeithierarchie abzuleiten, wenn BPP = EXP, der Extremfall ohne Derandomisierung.