Eines der Hauptprobleme bei der Aufzählung von Graphen ist die Bestimmung der "Form" eines Graphen, z. B. der Isomorphismusklasse eines bestimmten Graphen. Mir ist völlig bewusst, dass jeder Graph als symmetrische Matrix dargestellt werden kann. Um die Form zu erhalten, benötigen Sie jedoch eine Sammlung von Zeilen- / Spaltenpermutationen, wodurch eine Matrix etwas weniger geeignet ist. Es ist auch etwas schwieriger, das Diagramm zu "sehen", sobald es in dieser Form vorliegt.
Meine Frage ist: Gibt es 'grafische' Algebren, die die 'Form' von Graphen beschreiben können?
Ich denke darüber nach, welche Arten von formalen Systemen algebraische Topologen entwickeln. Insbesondere Dinge wie die Algebra für Knoteninvarianten oder Notationssysteme wie Operaden oder Polygraphen . Diese Art von "Doodle-Algebren" ist bei weitem nicht so gut entwickelt, daher gibt es vielleicht einen Grund zu der Annahme, dass es für Graphen keine solche Algebra gibt, aber ich würde fragen, bevor ich etwas anderes annehme.
AKTUALISIEREN:
Meine Frage ist wahrscheinlich sehr eng und kann nicht sofort mit einem "Ja" beantwortet werden. Wenn es den Moderatoren nichts ausmacht, werde ich sie erweitern, indem ich frage:
Gibt es Systeme (wie ich sie oben beschrieben habe), die (einfach oder auf andere Weise) angepasst werden könnten, um ein solches System zu erstellen? Wenn es mehr als eine gibt, können Sie alle erwähnen. Und werfen Sie auch die bereits erwähnten hinein.
Motivation
Meine Motivation für eine solche Frage ist eigentlich die Klassifizierung asymmetrischer Graphen. Ich bin nur ein Student, daher ist meine Überprüfung des aktuellen Standes der algebraischen Graphentheorie ziemlich dünn. Aber ich habe noch nicht viel zu tun, wenn überhaupt, um systematisch alle Graphen auf algebraische Weise zu beschreiben, insbesondere solche, die visuelle Metaphern gegenüber symbolischen verwenden.
Praktisches Beispiel, wo ein solches System nützlich wäre
Angenommen, man möchte einen Beweis beschreiben, dass alle Eulerschen Graphen Eckpunkte von gleichem Grad haben müssen. Ein Standardbeweis verwendet normalerweise Argumente über gerade und ungerade Grade, ohne die tatsächlich verwendeten Kanten zu erwähnen. Ein typischer Student würde zum ersten Mal einen solchen Beweis finden und wahrscheinlich mit dem Zeichnen von Grafiken beginnen, um sich von dem Argument zu überzeugen. Aber vielleicht wäre es ein besseres Werkzeug als das reine "logische" Argument, zu zeigen, dass eine Sammlung von "Symbolen" aus einer solchen Sprache eine "Vollständigkeits" -Bedingung nicht erfüllen könnte.
Ja, ich weiß, ich bin in diesem letzten Teil von Hand gewellt. Wenn ich es nicht wäre, würde ich wahrscheinlich selbst anfangen, ein solches System zu erstellen!
Wenn ich jedoch meine Unbestimmtheit für einen Moment ignoriere, habe ich das Gefühl, dass viele der alten und bekannten Theoreme in der Graphentheorie nicht schwierig sind, sondern eine Konzeptualisierung erfordern, die ein wirklich guter Rahmen zu einer einheitlichen Sichtweise zusammenfügen und verpacken könnte.