Komplexität topologischer Eigenschaften.

Ich bin ein Informatiker, der einen Kurs über Topologie belegt (eine Prise Punkt-Set-Topologie, die stark von der Kontinuum-Theorie beeinflusst ist). Ich habe mich für Entscheidungsprobleme interessiert, bei denen ich eine Beschreibung eines Raumes (durch Vereinfachungen) auf topologische Eigenschaften prüfe. diejenigen, die bis zum Homöomorphismus erhalten sind.

Es ist beispielsweise bekannt, dass die Bestimmung der Gattung eines Knotens in PSPACE erfolgt und NP-hart ist. (Agol 2006; Hass, Lagarias, Pippenger 1999)

Andere Ergebnisse haben eher ein allgemeineres Gefühl: AA Markov (der Sohn der Markov) zeigte 1958, dass das Testen von zwei Räumen auf Homöomorphie in Dimensionen oder höher nicht zu entscheiden ist (indem die Unentscheidbarkeit für 4-Mannigfaltigkeiten gezeigt wird). Leider ist dieses letzte Beispiel kein perfektes Beispiel für meine Frage, da es sich eher um das Homöomorphieproblem selbst als um Eigenschaften handelt, die unter Homöomorphismus erhalten bleiben.$5$

Es scheint viel Arbeit in der "niedrigdimensionalen Topologie" zu geben: Knoten- und Graphentheorie. Ich interessiere mich definitiv für Ergebnisse aus einer niedrigdimensionalen Topologie, interessiere mich aber mehr für verallgemeinerte Ergebnisse (diese scheinen selten zu sein).

Ich bin am meisten an Problemen interessiert, die im Durchschnitt NP-schwer sind, aber ich fühle mich ermutigt, Probleme aufzulisten, von denen nicht bekannt ist, dass sie so sind.

Welche Ergebnisse sind über die rechnerische Komplexität topologischer Eigenschaften bekannt?

Die Computertopologie umfasst einen enormen Forschungsumfang. Eine vollständige Zusammenfassung jedes Komplexitätsergebnisses wäre unmöglich. Um Ihnen einen kleinen Vorgeschmack zu geben, lassen Sie mich Ihr Beispiel näher erläutern.

$O(n)$

1950 hat Turing bewiesen, dass das Wort Problem in endlich präsentierten Halbgruppen unentscheidbar ist, indem es das Halteproblem reduziert hat (Überraschung, Überraschung).

Aufbauend auf Turings Ergebnis bewies Markov 1951, dass jede nichttriviale Eigenschaft von endlich präsentierten Halbgruppen unentscheidbar ist. Eine Eigenschaft von Gruppen ist nichttrivial, wenn eine Gruppe die Eigenschaft hat und eine andere Gruppe nicht. Theoretische Informatiker kennen das ähnliche Ergebnis über Teilfunktionen wie "Theorem von Reis".

1952 bewies Novikov, dass das Wortproblem in endlich präsentierten Gruppen nicht zu entscheiden ist, und bewies damit, dass Dehns Intuition richtig war. Das gleiche Ergebnis wurde 1954 von Boone und 1958 von Britton unabhängig bewiesen.

1955 bewies Adyan, dass jedes nichttriviale Eigentum endlich präsentierter Gruppen unentscheidbar ist. Das gleiche Ergebnis wurde von Rabin im Jahr 1956 unabhängig bewiesen. (Ja, das Rabin.)

Schließlich beschrieb Markov 1958 Algorithmen, um zweidimensionale Zellkomplexe und vierdimensionale Mannigfaltigkeiten mit jeder gewünschten Grundgruppe zu konstruieren, wenn die Gruppendarstellung als Eingabe gegeben ist. Dieses Ergebnis implizierte sofort, dass eine Vielzahl von topologischen Problemen unentscheidbar sind, darunter die folgenden:

• Ist ein gegebener Zyklus in einem gegebenen zweidimensionalen Komplex zusammenziehbar? (Dies ist das Wort Problem.)
• Ist ein gegebener 2-Komplex einfach verbunden? ("Ist diese Gruppe trivial?")
• Ist ein gegebener Zyklus in einem gegebenen 4-Mannigfaltigen zusammenziehbar?
• Ist ein gegebener 4-Mannigfaltiger zusammenziehbar?
• Ist eine gegebene 4-Mannigfaltigkeit homöomorph zu einer bestimmten 4-Mannigfaltigkeit (konstruiert von Markov)?
• Ist eine gegebene 5-Mannigfaltigkeit homöomorph zu der 5-Sphäre (oder irgendeiner anderen festen 5-Mannigfaltigkeit, die Sie wählen)?
• Ist ein gegebener 6-Komplex eine Mannigfaltigkeit?

$G$$G$$\pi_1(S^3)$$G$$G$

Ryan Budney hat ähnliche Diskussionen bei MathOverFlow gestartet:

https://mathoverflow.net/questions/35946/how-expensive-is-knowledge-knots-links-3-and-4-manifold-algorithms

https://mathoverflow.net/questions/144158/what-is-the-state-of-the-art-for-algorithmic-knot-simplification/145927

und bei Wikipedia:

http://en.wikipedia.org/wiki/Talk:Computational_topology