Regelmäßige Graphen und Isomorphismus

Ich möchte fragen, ob es dazu bereits ein veröffentlichtes Ergebnis gibt:

Wir nehmen alle möglichen unterschiedlichen Pfade zwischen jedem Knotenpaar zweier verbundener regulärer Graphen (mit dem Grad , sagen wir, und der Anzahl der Knoten ) und schreiben ihre Längen auf. Natürlich ist diese Anzahl unterschiedlicher Pfade exponentiell. Meine Frage ist, wenn wir die Längen sortieren und vergleichen (die von den beiden Diagrammen erhaltenen Listen) und sie genau gleich sind, können wir dann sagen, dass die beiden Diagramme isomorph sind? $d$ $n$

Selbst wenn dies ein Ergebnis ist, können wir es natürlich nicht verwenden, um auf den Graphisomorphismus zu antworten, da die Anzahl der unterschiedlichen Pfade wie gesagt exponentiell ist

Mit unterschiedlichen Pfaden beziehe ich mich offensichtlich auf Pfade mit mindestens einem unterschiedlichen Knoten.

Vielen Dank von vornherein für Ihre Hilfe.

— N27
quelle

In 2-regulären Graphen gibt es eine sehr kleine Anzahl unterschiedlicher Pfade, da ein 2-regulärer Graph eine disjunkte Vereinigung von Zyklen ist. Daher haben Sie entweder 2 oder 0 Pfade zwischen jedem Scheitelpunktpaar.

— Nathann Cohen

Diese Frage ist zwar interessant, scheint mir aber für MathOverflow besser geeignet zu sein.

— Niel de Beaudrap

Antworten:

Ich glaube, die Antwort auf Ihre Frage lautet "Nein", da eine äquivalente Bedingung eine polynomielle Zeitlösung für GI implizieren würde.

Für , den Adjazenzmatrix des Graphen , zu beachten , dass die Anzahl der Pfade von zu der Länge ist (mit Wiederholung von Eckpunkten und Kanten erlaubt). Für zwei Graphen und (mit Adjazenzmatrizen und ) und , wenn Sie die Elemente geordnet und dann um zu isomorph sein , ist es eine notwendige Bedingung , dass Die Listen sind für alle identisch . $A$ $G$ $i$ $j$ $k$ $(A^k)_{i, j}$ $G_1$ $G_2$ $A_1$ $A_2$ $k \ge 1$ $A_1^k$ $A_2^k$ $G_1$ $G_2$ $k$

Ich glaube, Ihre Vermutung ist gleichbedeutend mit:

Wenn die sortierten Listen der Elemente von und für bis identisch sind (oben auf dem längsten Pfad mit sich nicht wiederholenden Eckpunkten), sind und isomorph. $A_1^k$ $A_2^d$ $k = 1$ $n - 1$ $G_1$ $G_2$

Um GI zu lösen, muss man nur Multiplikationen von Matrizen durchführen (und ein wenig mehr Zeit, um Elemente zu sortieren und zu vergleichen ). Dies würde weniger als Stunden dauern . $n - 1$ $n \times n$ $n^2$ $n^4$

Ich gebe zwei mögliche Fehler in meiner Argumentation zu. Erstens ist es durchaus möglich, dass GI einen Polynom-Zeitalgorithmus hat und dass wir ihn gerade zusammen entdeckt haben (Hurra, wir sind berühmt!). Ich finde das höchst unwahrscheinlich. Zweitens (und viel wahrscheinlicher) entspricht das, was ich vorgeschlagen habe, nicht Ihrer Vermutung.

Letzter Gedanke. Haben Sie dies für alle ausprobiert, beispielsweise für 3-reguläre Diagramme für Größe 8 oder so? Ich würde denken, wenn Ihre Vermutung falsch ist, sollte es ein Gegenbeispiel in 3-regulären Graphen von ziemlich kleiner Größe geben.

— bbejot
quelle

Ich wusste nicht, dass die Anzahl der unterschiedlichen Pfade von i nach j der Länge k . Wenn ja, und wenn ich gut verstehe, was Sie tun, wird meine anfängliche Hypothese beantwortet.

(A^{k})_{i, j}

$(A^{k})_{i,j}$

— N27

@ N27: Dies kann anhand der Definition der Matrixmultiplikation und -induktion bewiesen werden.

— Tomek Tarczynski

Ja, leicht, in der Tat ...

— N27

Ah, es scheint, dass mich meine Intuition erneut in die Irre geführt hat. Das Zählen der Anzahl unterschiedlicher einfacher Pfade in einem Diagramm (oder sogar nur zwischen 2 Knoten) ist # P-vollständig. Mein Argument ist also falsch, weil es besagt, dass ein Polynomzeitalgorithmus dem Zählen einfacher Pfade entspricht. Ich bin mir jetzt auch völlig unsicher, ob Ihre Vermutung richtig ist oder nicht. Es ist jedoch ein wenig umstritten, da Sie sich wahrscheinlich nicht dafür entscheiden, ein # P-vollständiges Problem über GI zu lösen.

— Bejot

Da Sie nur die Längen der Pfade vergleichen (und in der Zwischenzeit vergessen, welchem Knotenpaar sie entsprechen, wenn ich Sie gut verstanden habe), sollten sehr ähnliche Diagramme ein Gegenbeispiel darstellen: Am Ende zählen Sie nur die Anzahl der Pfade mit fester Länge und unabhängig von den Scheitelpunkten, die sie verbinden. Zum Beispiel denke ich, dass diese Grafiken ein Gegenbeispiel sind: http://www.mathe2.uni-bayreuth.de/markus/REGGRAPHS/GIF/06_3_3-2.gif und http://www.mathe2.uni-bayreuth.de/ markus / REGGRAPHS / GIF / 06_3_3-1.gif

Wenn ich mich nicht irre (das Zählen von Pfaden ist mühsam), haben beide 9 Pfade der Länge 1, 18 Pfade der Länge 2, 48 Pfade der Länge 3, 30 Pfade der Länge 4 und 36 Pfade der Länge 5

— Arnaud
quelle

Ich zähle 36 Pfade der Länge 3 im ersten Diagramm und 30 Diagramme der Länge 3 im zweiten Diagramm. Das Problem ist, dass der zweite Graph Zyklen der Länge 3 hat, während der erste Graph dies nicht tut. Ich stimme jedoch weiterhin zu, dass es als Gegenbeispiel eine relativ kleine Grafik geben sollte. Ich habe jedoch noch keinen gefunden.

— Bbejot

Ich stimme Ihnen zu, ein Programm zu schreiben, das alle kleinen Grafiken testet, würde wahrscheinlich eine schnelle Antwort geben.

— Arnaud

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— trg787
quelle

in all diesen Grafiken lambda = mu

— trg787

Es ist die 3 einfachsten Paare (nicht isomorph)

— trg787

was ist das?!! und woher weißt du, dass es mindestens einen anderen Weg gibt?

— N27

Ich meine, woher wissen Sie, dass die Listen aller möglichen Pfade zwischen jedem Knotenpaar identisch sind?

— N27

Wie auch immer, sorry, ich verstehe nicht, was Sie getestet haben oder zu sagen versuchen ... Meine Frage war, ob die 2 Listen aller Längen unterschiedlicher Pfade zwischen allen Knotenpaaren für 2 nicht-isomorphe Graphen NICHT gleich sind.

— N27