Begrenzung der Lücke zwischen Quanten- und deterministischer Abfragekomplexität

Obwohl exponentielle Trennungen zwischen Quantenabfragekomplexität mit begrenztem Fehler ( ) und deterministischer Abfragekomplexität ( D ( f ) ) oder randomisierter Abfragekomplexität mit begrenztem Fehler ( R ( f ) ) bekannt sind, gelten sie nur für bestimmte Teilfunktionen. Wenn die Teilfunktionen einige spezielle Strukturen haben , sind sie auch polynomiell mit D ( f ) = O ( Q ( f ) 9 ) ) verwandt . Ich mache mir jedoch hauptsächlich Sorgen um die Gesamtfunktionen.$Q(f)$$D(f)$$R(f)$$D(f) = O(Q(f)^9))$

In einer klassischen Arbeit wurde gezeigt, dass für Gesamtfunktionen durch O ( Q ( f ) 6 ) , für monotone Gesamtfunktionen durch O ( Q ( f ) 4 ) und für O ( Q ( f ) 2 ) für O begrenzt ist symmetrische Gesamtfunktionen. Für diese Art von Funktionen sind jedoch nicht mehr als quadratische Abstände bekannt (diese Trennung wird durch O $D(f)$$O(Q(f)^6)$$O(Q(f)^4)$$O(Q(f)^2)$$OR$zum Beispiel). Soweit ich weiß, vermuten die meisten Menschen, dass für Gesamtfunktionen $D(f) = O(Q(f)^2)$ . Unter welchen Bedingungen wurde diese Vermutung bewiesen (abgesehen von symmetrischen Funktionen)? Was sind die derzeit besten Grenzen für die Komplexität von Entscheidungsbäumen in Bezug auf die Komplexität von Quantenabfragen für Gesamtfunktionen?

$D(f) = O(Q_E(f))^3$$Q_E(f)$$f$

$n$$\Omega(\sqrt{n})$

Obwohl dieser Fortschritt begrenzt war, wurden beträchtliche Fortschritte bei der Untergrenze der Komplexität von Quantenabfragen für bestimmte Funktionen erzielt. Einzelheiten finden Sie in dieser Übersicht (oder z. B. in der neueren Veröffentlichung von Reichardt, in der nachgewiesen wird, dass die allgemeinste Version der Grenze des Gegners die Komplexität der Quantenabfrage charakterisiert).

Ich mag die Antwort von Ashley Montanaro, aber ich dachte, ich würde auch eine Reihe von Funktionen einschließen, für die die Vermutung bekannt ist.

$OR$

$f$$D(f) = O(Q(f)^2)$

Einzelheiten:

$x$$S \subseteq \{1,...,n\}$$y$$(\forall i \in S \quad y_i = x_i) \rightarrow f(y) = f(x)$$C_x(f)$$x$$C_1(f) = \max_{x | f(x) = 1} C_x(f)$$f(x) = 0$

Sie können zeigen, dass . Dann können Sie den in der Umfrage von Buhrman und de Wolf vorgestellten Algorithmus verwenden, um Folgendes zu zeigen:$Q(f) \geq \sqrt{bs(f)} \geq 2C_0(f)/2^{C_1(f)} + 1$$D(f) \leq C_1(f)bs(f) \leq C_0(f)C_1(f)$

Wenn wir die Aufmerksamkeit auf Diagrammeigenschaften beschränken, können wir im Vergleich zu den von Ihnen erwähnten allgemeinen Grenzen leicht verbesserte Grenzen nachweisen:

In einer klassischen Arbeit wurde gezeigt, dass für Gesamtfunktionen durch , für monotone Gesamtfunktionen durch für Gesamtfunktionen durch für symmetrische Gesamtfunktionen.O ( Q ( f ) 6 ) O ( Q ( f ) 4 ) O ( Q ( f ) 2$D(f)$$O(Q(f)^6)$$O(Q(f)^4)$$O(Q(f)^2)$

Zunächst denke ich, dass die 6. Potenzgrenze für die Diagrammeigenschaften auf die 4. Potenz verbessert werden kann. Dies folgt aus [1], wo sie zeigen, dass jede Diagrammeigenschaft eine Abfragekomplexität von mindestens , wobei die Eingabegröße ist, die in der Anzahl der Eckpunkte quadratisch ist. Natürlich ist die klassische Abfrage Komplexität höchstens .N $\Omega(N^{1/4})$$N$$N$

Die für monotone Gesamtfunktionen gebundene 4. Potenz kann für monotone Grapheneigenschaften auf die 3. Potenz verbessert werden. Dies folgt aus einer unveröffentlichten Beobachtung von Yao und Santha (erwähnt in [2]), dass alle monotonen Grapheneigenschaften eine Quantenabfragekomplexität .$\Omega(N^{1/3}\log^{1/6}N)$

[1] Sun, X.; Yao, AC.; Shengyu Zhang, "Diagrammeigenschaften und Kreisfunktionen: Wie gering kann die Komplexität von Quantenabfragen sein?", Computational Complexity, 2004. Proceedings. 19. IEEE Annual Conference on, Bd. Nr., S. 286, 293, 21.-24. Juni 2004, doi: 10.1109 / CCC.2004.1313851

[2] Magniez, Frédéric; Santha, Miklos; Szegedy, Mario (2005), "Quantenalgorithmen für das Dreiecksproblem", Proceedings des sechzehnten jährlichen ACM-SIAM-Symposiums über diskrete Algorithmen, Vancouver, British Columbia: Gesellschaft für industrielle und angewandte Mathematik, S. 1109–1117, arXiv: quant -ph / 0310134.

In dieser Frage wurden 2015 große Fortschritte erzielt.

Erstens haben die Autoren in arXiv: 1506.04719 [cs.CC] die quadratische Trennung verbessert, indem sie eine Gesamtfunktion mit zeigten$f$

Andererseits wurde in arXiv: 1512.04016 [quant-ph] gezeigt, dass die quadratische Beziehung zwischen Quanten- und deterministischer Abfragekomplexität gilt, wenn die Domäne der Funktion sehr klein ist.