Existenz einer

10

Betrachten Sie das Problem der dominierenden Menge in allgemeinen Diagrammen und lassen Sie die Anzahl der Scheitelpunkte in einem Diagramm sein. Ein gieriger Approximationsalgorithmus gibt eine Approximationsgarantie für Faktor , dh es ist möglich, in Polynomzeit eine Lösung so dass , wobei die Größe einer minimalen dominierenden Menge ist. Es gibt Grenzen, die zeigen, dass wir die Abhängigkeit von wesentlich verbessern können $n$ $1 + \log n$ $S$ $|S| \leq (1 + \log n) opt$ $opt$ $\log n$ http://www.cs.duke.edu/courses/spring07/cps296.2/papers/p634-feige.pdf .

Meine Frage: Gibt es einen Approximationsalgorithmus, der eine Garantie in Bezug auf anstelle von ? In Graphen , in denen in Bezug auf die optimale sehr groß ist, ein Faktor- Annäherung wäre viel schlimmer als ein Faktor Annäherung. Ist so etwas bekannt oder gibt es Gründe, warum dies nicht existieren kann? Ich bin mit jedem Polynom-Zeit-Algorithmus zufrieden, der eine Lösung so dass für eine Konstante $opt$ $n$ $n$ $\log n$ $\log opt$ $S$ $|S| \in O(opt^c)$ $c$ .

cc.complexity-theory approximation-algorithms approximation-hardness

— Bart Jansen
quelle

14

Ich denke, es ist noch offen, wenn Dominating Set oder Hitting Set eine af (OPT) -Näherung für eine (nicht triviale) Funktion f haben. Dies sollte eine sehr schwierige (und möglicherweise tiefe) Frage sein. Ich halte es für die aufregendste Frage in der parametrisierten Approximation (zusammen mit der analogen Frage für Clique). Vielleicht möchten Sie einen Blick auf meine Umfrage [1] werfen, in der dies erörtert wird. Es ist zu beachten, dass in der neueren Veröffentlichung [2] gezeigt wird, dass "Monotone Schaltungserfüllbarkeit für Schuss-2-Schaltungen", ein Problem, das allgemeiner als Dominating Set ist, keine f (OPT) -Näherung für irgendeines f hat.

[1] D. Marx. Parametrisierte Komplexitäts- und Approximationsalgorithmen. The Computer Journal, 51 (1): 60-78, 2008.

[2] D. Marx. Völlig ungenaue monotone und antimonotone parametrisierte Probleme. In Proceedings der 25. jährlichen IEEE-Konferenz über Computational Complexity, Cambridge, Massachusetts, 181-187, 2010.

— Daniel Marx
quelle

Danke für die Referenzen! Dies beantwortet meine Frage gut.

— Bart Jansen

Es kann auch interessant sein, die folgende Anmerkung von Nelson zu betrachten, die zeigt, dass man keine guten Verhältnisse erhalten kann, die nur von der Anzahl der Sätze abhängen. eccc.hpi-web.de/eccc-reports/2007/TR07-105/revisn01.pdf

— Chandra Chekuri

2

Dies sollte ein Kommentar sein, da er Ihre Frage nicht direkt beantwortet, sondern eine verwandte Frage. Vielleicht gibt Ihnen ein ähnlicher Trick aus [1] eine Antwort.

In [1] ist folgendes bewiesen:

$G=(V,E)$ $k$ $k$ $G$ $g(k)$ $g(k)$ $k$ $G$ $k$

$g(k)$

[1] Rodney G. Downey, Michael R. Fellows, Catherine McCartin und Frances Rosamond. "Parametrisierte Approximation dominierender Mengenprobleme". Informationsverarbeitungsbriefe, Band 109, Ausgabe 1, Dezember 2008.

— Ruub
quelle

1

Der Trick in [1] basiert auf der Tatsache, dass Independent Dominating Set als Maximierungsproblem nicht monoton ist: Eine Teilmenge einer realisierbaren Lösung ist nicht unbedingt eine realisierbare Lösung (was normalerweise bei Maximierungsproblemen mit aussagekräftigen Annäherungen der Fall ist). Daher ist es sehr gut möglich, dass jede mögliche Lösung dieselbe Größe hat, was eine Annäherung irrelevant macht.

— Daniel Marx