Definieren Sie das Rechenmodell MPostBQP so, dass es mit PostBQP identisch ist, außer dass wir vor der Nachauswahl und der endgültigen Messung polynomiell viele Qubit-Messungen zulassen.
Können wir Hinweise darauf geben, dass MPostBQP leistungsfähiger als PostBQP ist?
Definieren Sie MPostBQP [k], um mehrere Mess- und Nachauswahlrunden zu ermöglichen, bevor wir die endgültige Messung durchführen. Wählen Sie die Indizierung so, dass MPostBQP [1] = PostBQP und MPostBQP [2] = MPostBQP usw. (Update: Eine formale Definition ist unten angegeben.)
Betrachten Sie Arthur-Merlin-Spiele. Vielleicht können wir sie in diesem Berechnungsmodell simulieren: Die Nachauswahl kann Merlins Rolle bei der Erstellung überzeugender Botschaften übernehmen, und die Zwischenmessungen können die Rolle von Arthurs öffentlichen Münzwürfen übernehmen. Diese Möglichkeit lässt mich fragen:
Haben wir AM [k] MPostBQP [k]?
Dies ist in der Tat für , was MA PP sagt . Es für zu zeigen, würde MPostBQP = PP nur bedeuten, wenn AM PP ist. Da es ein Orakel gibt, zu dem AM nicht in PP enthalten ist , könnte dies eine positive Antwort auf meine erste Frage geben.
Schließlich für den polynomiell vielen Rundenfall,
Haben wir PSPACE MPostBQP [poly]? Wenn ja, ist es Gleichheit?
Dies wäre philosophisch interessant (zumindest für mich), da es uns sagen würde, dass die "nachvollziehbare" Klasse von Problemen für einen "nachselektierenden Zauberer" das gesamte PSPACE umfasst (oder ist ).
EDIT: Ich wurde nach einer formalen Definition von MPostBQP gefragt. (Ich habe Folgendes aktualisiert.)
MPostBQP [k] ist die Klasse der Sprachen für die es eine einheitliche Familie von Quantenschaltungen mit Polynomgröße { C n } n ≥ 1 gibt, so dass für alle Eingaben x die folgende Prozedur wahr ist mit mindestens Wahrscheinlichkeit 2 / 3 , wenn x ∈ L , und mit einer Wahrscheinlichkeit von höchstens 1 / 3 , wenn x ∉ L . Die Prozedur, die einige Auswahlmöglichkeiten zulässt, die von L abhängen können (aber nicht von x) ist wie folgt definiert:
Vorgehensweise: Schritt 1. Wenden Sie den entsprechenden Einheitsoperator auf den Eingabezustand | an 0 ⋯ 0 ⟩ & xotime ; | x ⟩ . Beachten Sie die Länge des ersten | 0 ⋯ 0 ⟩ Register sind höchstens Polynom in der Länge x . Schritt 2. Wenn i ungerade ist, wählen Sie nach, so dass ein ausgewähltes einzelnes Qubit im ersten Register als | misst 0 ⟩ : Wenn i gerade ist, messen Sie eine beliebige Anzahl von Qubits aus dem ersten Register (höchstens polynomiell viele, angesichts der Größe des Registers). Wenn ich (und eine Garantie haben , dass die Wahrscheinlichkeit ungleich Null ist, so dass die postselection gültig ist, natürlich). Schritt 3. Messen Sie abschließend ein letztes Qubit im ersten Register und geben Sie true zurück, wenn wir messen 1 ⟩ und andernfalls false.
Wir haben MPostBQP [0] = BQP, MPostBQP [1] = PostBQP und MPostBQP: = MPostBQP [2]. Ich versuche, die Arthur-Merlin-Klassen zu spiegeln, in denen AM [0] = BPP, AM [1] = MA und AM [2] = AM.
EDIT (27.03.11, 17 Uhr): Es scheint eine Debatte darüber zu geben, wie die Nachauswahl in diesem Zusammenhang definiert werden sollte. Natürlich meine ich eine Definition, die meine Frage nicht trivialisiert! :) Die Definition, die ich angenommen habe, lautet wie folgt: Nachauswahl auf dem k-ten Bit bedeutet, dass wir den Zustand in den Unterraum projizieren, in dem das k-te Bit und normalisieren. Es stellt sich heraus, dass wir in einem Schema, in dem wir vor der Durchführung von Messungen eine Nachauswahl treffen, die endgültige Statistik erhalten können, indem wir die bedingten Wahrscheinlichkeiten in einem Schema betrachten, in dem die Nachauswahl durch Messungen ersetzt wird. Ich behaupte jedoch, dass diese Charakterisierung zusammenbricht, wenn Messungen und Nachauswahl eingestreut werden. Ich denke, die Verwirrung rührt von Leuten her, die diese "bedingte Wahrscheinlichkeitsdefinition" (die in dem Sonderfall, aus dem ich verallgemeinere, funktioniert) als Definition der Nachauswahl verwenden und nicht die Definition der "erzwungenen Messung", die ich gerade gegeben habe und die eindeutig davon abhängt Ordnung wegen mangelnder Kommutativität. Ich hoffe das hilft!
EDIT (27.03.11 21 Uhr): Ich habe die Nachauswahl bereits im reinen Staatsformalismus definiert. Niel gab eine Analyse im Dichtematrix-Formalismus, die mit meiner für das 3-Qubit-Beispiel nicht übereinstimmt. Der Schuldige ist wiederum die Definition der Nachauswahl. Definieren Sie die Nachauswahl in der Dichtematrixeinstellung wie folgt. Schreiben Sie eine gegebene Dichtematrix als eine Mischung trennbarer Zustände M = ∑ p i | um a i ⟩ ⟨ a i | . Lassen Sie | A i das Ergebnis postselection sein (bei einigen Qubit)den reinen Zustand Formalismus I oben definiert. Definieren Sie das Ergebnis der Nachauswahl aufMals.
Dies ist eine sinnvollere Definition, da sie keine Ergebnisse liefert, die besagen, dass wir nach der Nachauswahl die Statistik der Ereignisse (Messungen) ändern, die wir bereits beobachtet haben. Das heißt, die sind Wahrscheinlichkeiten von Münzen, die wir "bereits geworfen" haben. Es macht für mich keinen Sinn zu sagen, dass wir in der Zeit zurückgehen und einen Münzwurf voreingenommen machen werden, der bereits stattgefunden hat, weil dies die aktuelle Nachauswahl wahrscheinlicher machen würde.
EDIT (28.03.11, 13 Uhr): Niel räumt ein, dass das Problem mit meinen Definitionen Sinn macht und nicht trivialisiert - aber mit der Bedingung, dass ich es nicht nennen sollte Nachwahl sollte . Angesichts der Verwirrung muss ich ihm zustimmen. Nennen wir das, was ich definiert habe, Auswahl , die eine "erzwungene Messung" durchführt. Ich sollte wahrscheinlich auch den Namen der von mir definierten Komplexitätsklassen ändern (um nicht "Post" zu haben), also nennen wir sie QMS [k] (Quantum-Measure-Select).