Euklidisch-quadratischer Maximalschnitt in geringen Abmessungen

Sei $x_1, \ldots, x_n$ Punkte in der Ebene . Betrachten Sie einen vollständigen Graphen mit den Punkten als Eckpunkten und mit Kantengewichten von . Finden Sie immer ein Stück Gewicht, das mindestens des Gesamtgewichts beträgt? Wenn nicht, welche Konstante soll die ersetzen ? $\mathbb{R}^2$ $\|x_i - x_j\|^2$ $\frac 2 3$ $\frac 2 3$

Das schlechteste Beispiel, das ich finden kann, sind 3 Punkte auf einem gleichseitigen Dreieck, wodurch die $\frac 2 3$ . Beachten Sie, dass eine zufällige Aufteilung erzeugen würde $\frac 1 2$ , aber es scheint intuitiv offensichtlich, dass man in niedrigen Dimensionen besser als zufällig gruppieren kann.

Was passiert mit max-k-cut für k> 2? Wie wäre es mit einer Dimension d> 2? Gibt es einen Rahmen, um solche Fragen zu beantworten? Ich kenne die Ungleichungen von Cheeger, aber diese gelten für den dünnsten Schnitt (nicht für den Maximalschnitt) und funktionieren nur für reguläre Diagramme.

(Die Frage ist von dem Problem inspiriert, Lichtquellen in Computergrafiken zu gruppieren, um die Varianz zu minimieren.)

— Milos Hasan
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Es gibt eine einfache 1-2 / k-Approximation für Max k-Cut, und für k> 2 können Sie einen guten großen Schnitt finden, aber für k = 2 können Sie www-math.mit.edu/~goemans/PAPERS/maxcut sehen -jacm.pdf und verwandte Themen, ich denke, wenn Sie einen guten Schnitt mit hoher Wahrscheinlichkeit finden, können Sie sagen, dass es einen Schnitt mit 2/3 gibt oder nicht, zumindest wird der Bereich der Möglichkeiten begrenzt sein.

— Saeed

Beachten Sie jedoch, dass die Gewichtsfunktion hier der euklidische QUADRAT-Abstand ist, der keine Metrik ist.

— Suresh Venkat

Ich würde vermuten, dass max cut für diese Fälle einen ptas- oder sogar einen polytime-Algorithmus hat, aber die spezifische Frage ist sehr interessant. Ist klar, wie hoch der maximale Schnitt ist, wenn die Scheitelpunkte entlang eines Zyklus gleichmäßig verteilt sind, und dass das Beispiel in dieser Klasse, das den maximalen Schnitt minimiert, drei Scheitelpunkte mit gleichem Abstand ist? Weil es ein Argument geben könnte, das zeigt, dass jede Konfiguration von Punkten in eine "symmetrische" Konfiguration umgewandelt werden kann, ohne das Verhältnis von maximalem Schnitt zu Gesamtgewicht zu erhöhen, und es daher möglicherweise ausreichend ist, nur hochsymmetrische Konfigurationen zu verstehen

— Luca Trevisan

Was passiert auch in einer Dimension? Es ist möglich, eine Konfiguration zu finden, bei der der maximale Schnitt ungefähr 2/3 des Gesamtgewichts beträgt (ein Punkt ist -1, ein Punkt ist +1, 4 Punkte sind sehr nahe bei Null; das Gesamtgewicht beträgt 12 und das Optimum ist 8). Ist 2/3 das kleinstmögliche Verhältnis von maximalem Schnitt zu Gesamtgewicht in einer Dimension?

— Luca Trevisan

@Luca: Ja, 1D ist auch nicht trivial. Intuitiv sollte sich die Konstante mit zunehmender Dimension der Hälfte annähern. Für den 2D-Fall können wir annehmen, dass der Schwerpunkt bei (0,0) liegt und alle Punkte in den Einheitskreis passen. Es könnte ein Argument der "Punktabstoßung" geben, das die Punkte in Richtung des Einheitskreises drückt, ohne das Schnittgewicht zu erhöhen, was hilfreich wäre, aber ich konnte es nicht festhalten.

— Milos Hasan

Antworten:

Die Konstante tendiert zu 1/2, wenn die Dimension zunimmt. In d-Dimensionen können Sie d + 1 Punkte im Abstand voneinander haben, sodass die Summe der Entfernungsquadrate ist ${d+1 \choose 2}$ und der maximale Schnitt höchstens beträgt , das ist ein Bruchteil des Gesamtgewichts $(d+1)^2/4$ $\frac 12 \cdot \frac {d+1}{d}$

— Luca Trevisan
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OK, aber warum ist die Konfiguration von d + 1 Punkten in einem Abstand von 1 voneinander der schlimmste Fall? Das scheint plausibel, aber ist es offensichtlich? (Und für d = 1 sind zwei Punkte in einem Abstand von 1 eindeutig nicht der schlechteste Fall. Die oben angegebene 6-Punkte-Konfiguration ist schlechter. Könnte es sein, dass d = 1 der einzige pathologische Fall ist und funktioniert für d> = 2?)

— Milos Hasan

@milos Ich bin nicht sicher, ob ich das verstehe. Wir wissen, dass 0,5 erreichbar ist, und dieses Beispiel zeigt, dass Sie es nicht besser machen können. Es wird jedoch nicht die 2/3 Vermutung für das Flugzeug gebrochen.

— Suresh Venkat

@Suresh: Was ich wirklich wollte, ist zu beweisen, dass man es in niedrigen Dimensionen besser kann , dh ich bin an der Folge der tatsächlichen Werte der schlechtesten Konstanten für bestimmte niedrige d interessiert.

— Milos Hasan

Ich wollte wirklich eine tatsächliche Lücke zwischen 1/2 und 2/3 für niedrige d beweisen. Dies hätte interessante Konsequenzen, dh, Sie können die Monte-Carlo-Summierung / -Integration schlagen (indem Sie Ihr Problem intelligent in Unterprobleme aufteilen, anstatt zufällig), wenn Ihr Problem von Natur aus niedrigdimensional ist (beliebig viele).

— Milos Hasan

Obwohl dies nur eine Antwort für großes d ist, zeigt es, welche Schwierigkeiten bei der Analyse des kleinen d-Falls auftreten können. Angenommen, Sie könnten in 2 Dimensionen fünf Punkte haben, deren paarweises Distanzquadrat alle zwischen 1 und 1,1 liegt. Dann beträgt das Gesamtgewicht mindestens 10 und der maximale Schnitt beträgt höchstens 6,6. Wenn 2/3 die richtige Antwort für zwei Dimensionen ist, müssen Sie nachweisen können, dass bei fünf Punkten, bei denen alle paarweisen euklidischen Abstände mindestens eins sind, einer der paarweisen euklidischen Abstände mindestens

beträgt

. Wie argumentieren Sie das?

\sqrt{1.1}

$\sqrt {1.1}$

— Luca Trevisan

Nehmen Sie 3 Punkte A, B, C auf einem gleichseitigen Dreieck und fügen Sie 3 weitere Punkte D, E, F in der Mitte hinzu. Es ist klar, dass Sie zwei von A, B, C auf einer Seite des Schnitts haben möchten. Nehmen wir also an, dass der Schnitt an diesen drei Punkten (AB; C) ist. Jetzt muss jeder der Punkte D, E, F auf der C-Seite des Schnitts liegen, sodass der optimale Schnitt (AB; CDEF) ist und das Verhältnis leicht auf 2/3 überprüft werden kann.

Bewegen Sie nun jeden der Punkte D, E, F etwas von der Mitte weg, um ein kleines gleichseitiges Dreieck zu bilden. Es ist egal in welche Richtung, solange sie um das Zentrum symmetrisch sind. Wenn Sie sie ein Stück weit bewegen, muss der optimale Schnitt immer noch (AB; CDEF) sein. Betrachten Sie die Länge dieses Schnitts. Die Kanten (AC, BC) bilden 2/3 der Gesamtlänge der Kanten (AB, BC, AC). Aus Symmetriegründen beträgt die Gesamtlänge der Kanten (AD, AE, AF, BD, BE, BF) 2/3 der Kantenlänge (AD, AE, AF, BD, BE, BF, CD, CE, CF) ). Aber keine der Kanten (DE, EF, DF) ist im Schnitt. Das Verhältnis dieses Schnitts ist also strikt kleiner als 2/3.

Sie sollten in der Lage sein, diese Konstruktion zu optimieren, um eine Konfiguration zu finden, bei der der optimale Schnitt deutlich unter 2/3 liegt. Wenn ich es versuche, bekomme ich das, wenn Sie sechs Punkte nehmen, die in zwei gleichseitigen Dreiecken mit demselben Mittelpunkt angeordnet sind, mit dem kleineren die Größe des größeren, danndie max-cut wirddas Gesamtgewicht anstelle von. $(\sqrt{6}-1)/5 \approx .2899$ $.6408$ $2/3$

— Peter Shor
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1 - O (k^{- α})

$1 - O(k^{-\alpha})$

k

$k$

α > 1

$\alpha > 1$

Meine Vermutung ist, dass die richtige Antwort nicht viel niedriger als .64 ist, aber ich habe keine Ahnung, wie man eine Untergrenze anzeigt.

— Peter Shor