Probleme in NP, aber nicht in Average-P / Poly

Das Karp-Lipton-Theoem besagt, dass wenn , dann P H zu Σ P 2 zusammenbricht . Unter der Annahme , Trennungen zwischen Σ P 2 und Σ P 3 , kein N P -komplette Problem wird gehört P / p o l y .$\mathsf{NP} \subset \mathsf{P/poly}$$\mathsf{PH}$$\mathsf{\Sigma^P_2}$$\mathsf{\Sigma^P_2}$$\mathsf{\Sigma^P_3}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{P/poly}$

Ich interessiere mich für folgende Frage:

Unter der Annahme , daß nicht kollabiert oder in struktureller Komplexität andere vernünftige Annahme , unter der Annahme, was für hart auf durchschnittliches N P Probleme erwiesen , nicht liegt in A v e r ein g e - P / P o l y (falls vorhanden )?$\mathsf{PH}$ $\mathsf{NP}$$\mathsf{Average\mbox{-}P/poly}$

Eine Definition von können gefunden werden in Beziehungen zwischen der Durchschnittsfall und Worst-Case - Komplexität . Dank Tsuyoshi für den Hinweis auf , dass ich tatsächlich brauchte, A v e r ein g e - P / p o l y anstelle von P / p o l y .$\mathsf{Average\mbox{-}P/poly}$$\mathsf{Average\mbox{-}P/poly}$$\mathsf{P/poly}$

Ich denke, es gibt Probleme wie (die Entscheidungsversionen von) FACTORING oder DLOG, von denen vermutet wird, dass sie in , aber die Vermutung ist nicht auf der Grundlage von Trennungen zwischen beiden bewiesen Komplexitätsklassen. (Bitte korrigiere mich wenn ich falsch liege.)$\mathsf{NP} - \mathsf{Average\mbox{-}P/poly}$

Dies ist eine leicht verbesserte Version meiner beiden Kommentare zu der Frage zusammen.

Beschränken wir uns der Einfachheit halber auf Verteilungsprobleme in DistNP (auch bekannt als (NP, P-computable)). Dann suchen Sie nach einem Problem in DistNP ∖ Average-P / poly. Tautologisch besteht ein solches Problem genau dann, wenn DistNP ⊈ Average-P / poly ist. Und wenn DistNP ⊈ Average-P / poly ist, dann liegt jedes DistNP-vollständige Problem außerhalb von Average-P / poly, da Average-P / poly unter durchschnittlichen Fallreduktionen geschlossen ist.

(Betrachtet man eine größere Klasse von SampNP (auch bekannt als (NP, P-samplable) ) anstelle von DistNP, ändert sich die Situation nicht wesentlich, da DistNP ⊆ Mittelwert-P / Poly genau dann, wenn SampNP ⊆ Mittelwert-P / Poly ist. Diese Äquivalenz ist direkt eine Folgerung aus dem Ergebnis von Impagliazzo und Levin [IL90], dass jedes Verteilungsproblem in SampNP im Durchschnitt auf ein Verteilungsproblem in DistNP zurückgeführt werden kann.)

Ich weiß nicht, welche natürliche Annahme DistNP ⊈ Average-P / poly impliziert. Die Annahme, dass die Polynomhierarchie nicht zusammenbricht, impliziert nach Abschnitt 18.4 von Arora und Barak [AB09] nicht einmal eine schwächere Konsequenz als DistNP ⊈ Average-P: „[…] obwohl wir wissen, dass wenn P = NP Wenn dann die Polynomhierarchie PH zu P […] zusammenbricht, haben wir kein analoges Ergebnis für die durchschnittliche Fallkomplexität. “

Verweise

[AB09] Sanjeev Arora und Boaz Barak. Computerkomplexität: Ein moderner Ansatz , Cambridge University Press, 2009.

[IL90] Russell Impagliazzo und Leonid A. Levin. Es gibt keine bessere Möglichkeit, harte NP-Instanzen zu generieren, als gleichmäßig nach dem Zufallsprinzip zu wählen. Im 31. jährlichen Symposium über Grundlagen der Informatik , 812–821, Oktober 1990. http://dx.doi.org/10.1109/FSCS.1990.89604