Berechnungssumme von spärlichen Polynomen im Quadrat in O (n log n) Zeit?

Angenommen , wir haben Polynome vom Grad höchstens n , n > m , so dass die Gesamtzahl von Nicht - Null - Koeffizienten n ( das heißt, sind die Polynome sparse). Ich interessiere mich für einen effizienten Algorithmus zur Berechnung des Polynoms:$p_1,...,p_m$$n$$n>m$$n$

Da dieses Polynom einen Grad von höchstens , ist sowohl die Eingangs- als auch die Ausgangsgröße O ( n ) . Im Fall m = 1 können wir das Ergebnis mit der FFT in der Zeit O ( n log n ) berechnen . Kann dies für jedes m < n durchgeführt werden ? Wenn es einen Unterschied macht, interessiert mich der Sonderfall, bei dem die Koeffizienten 0 und 1 sind und die Berechnung über die ganzen Zahlen erfolgen sollte.$2n$$O(n)$$m=1$$O(n \log n)$$m<n$

Aktualisieren. Ich erkannte, dass eine schnelle Lösung für das oben Genannte Fortschritte in der schnellen Matrixmultiplikation implizieren würde. Insbesondere wenn , dann können wir abgelesen eine i k b k j als der Koeffizient von x i + n j in p k ( x $p_k(x)=\sum_{i=1}^n a_{ik} x^i + \sum_{j=1}^n b_{kj} x^{nj}$$a_{ik} b_{kj}$$x^{i+nj}$ . Somit Berechnen p k ( x ) 2 entsprichtBerechnen eines äußeren Produkt aus zwei Vektoren, und Berechnen der Summe Σ k p k ( x ) 2 entspricht einem Matrixproduktberechnen. Wenn es eine Lösung unter VerwendungZeit ist , f ( n , m ) zum Berechnen von Σ k p k ( x ) 2 , dann können wir zwei Multiplizier n -by- n Matrizen inZeit f ( n 2 , $p_k(x)^2$$p_k(x)^2$$\sum_k p_k(x)^2$$f(n,m)$$\sum_k p_k(x)^2$$n$$n$ , was bedeutet, dass f ( n , m ) = O ( n log n ) für m ≤ n einen größeren Durchbruch erfordern würde. Aber f ( n , m ) = n & ohgr; / 2 , wobei & ohgr ; der aktuelle Exponent der Matrixmultiplikation ist, könnte möglich sein. Ideen, irgendjemand?$f(n^2,n)$$f(n,m)=O(n\log n)$$m\leq n$$f(n,m)=n^{\omega/2}$$\omega$

Quadriert ein Polynom mit von Null verschiedenen Koeffizienten braucht Zeit O ( x 2 i ) unter Verwendung üblichen Begriff-by-Begriff Multiplikation, so sollte dies für die Polynome die FFT bevorzugt werden , wo x i < $x_i$$O(x_i^2)$ . WennΣixi=n,die Anzahl von Polynomen mitxigrößer als$x_i < \sqrt{n \log n}$$\sum_i x_i = n$$x_i$ istO($\sqrt{n \log n}$, und diese werden ZeitO(n 3 / 2 (logn) 1 / 2 )um Platz und verbinden (wie die übrigen Polynome). Dies ist eine Verbesserung gegenüber der offensichtlichenO(mnlogn)gebundenwennmistΘ($O(\sqrt{n / \log n})$$O(n^{3/2}({\log n})^{1/2})$$O(m n \log n)$$m$.$\Theta(\sqrt{n / \log n})$

Keine vollständige Antwort, aber vielleicht hilfreich.

Vorsichtsmaßnahme: Es funktioniert nur gut, wenn die Stützen des klein sind.$p_i^2$

Für ein Polynom sei S q = { i ∣ a i ≠ 0 } seine Unterstützung und s q = | S q | sei die Größe der Unterstützung. Der größte Teil des p i wird spärlich sein, dh eine kleine Unterstützung haben.$q = a_0 + a_1x + \dots +a_nx^n$$S_q = \{i \mid a_i \not= 0\}$$s_q = |S_q|$$p_i$

Es gibt Algorithmen, um spärliche Polynome und b in quasi-linearer Zeit in der Größe der Unterstützung des Produkts a b zu multiplizieren , siehe z. B. http://arxiv.org/abs/0901.4323$a$$b$$a b$

The support of $ab$ is (contained in) $S_a + S_b$, where the sum of two sets $S$ and $T$ is defined as $S + T := \{s + t \mid s \in S, t \in T\}$. If the supports of all products are small, say, linear in $n$ in total, then one can just compute the products and add up all monomials.

It is however very easy to find polynomials $a$ and $b$ such that the size of the support of $ab$ is quadratic in the sizes of the support of $a$ and $b$. In this particular application, we are squaring polynomials. So the question is how much larger $S + S$ compared to $S$. The usual measure for this is the doubling number $|S + S|/|S|$. There are sets with unbounded doubling number. But if you can exclude sets with large doubling number as supports of the $p_i$, then you can get a fast algorithm for your problem.

Just wanted to note the natural approximation algorithm. This doesn't take advantage of sparsity though.

You could use a random sequence $(\sigma_i)_{i\in[n]}$ Taking $X=\sum_i \sigma_i p_i(x)$ we can compute $X^2$ in $n\log n$ time using FFT. Then $EX^2 = \sum_i p_i(x)^2 = S$ and $\sqrt{VX^2} = O(S)$. So you can get a $1+\varepsilon$ approximation in time $O(\varepsilon^{-2} n \log n )$.