Hauptidee der Antwort: Wenn wir eine Instanz eines parametrisierten unabhängigen Satzes auf eine parametrisierte Vertex-Abdeckung reduzieren, hängt der Parameter, den wir erhalten, von der Größe des Diagramms ab und hängt nicht nur vom Eingabeparameter ab. Nun zu etwas mehr Details.
Wie Sie wissen, liegt ein parametrisiertes Problem in (einheitlicher) FPT vor, wenn es einen Algorithmus gibt, der in der Zeit f ( k ) | entscheidet, ob eine Eingabe ( x , k ) in Q enthalten ist x | O ( 1 ) für eine Funktion f .Q(x,k)Qf(k)|x|O(1)f
Da Sie entscheiden können, ob ein Graph eine Scheitelpunktabdeckung der Größe k hat, indem Sie eine Kante auswählen und verzweigen, welcher der beiden Endpunkte in die Scheitelpunktabdeckung eingefügt werden soll, geht diese Verzweigung nur k tief (andernfalls haben Sie mehr als k eingefügt) Ecken in der Abdeckung) und läuft leicht in der Zeit O ( 2 k n 2 ) ; deshalb ist k- Vertex Cover in FPT.GkkkO(2kn2)k
Angenommen, wir möchten versuchen, diesen Algorithmus zu verwenden, um zu zeigen, dass sich der parametrisierte unabhängige Satz in FPT befindet. nehmen wir einen Graphen gegeben auf n Ecken und wollen , um zu entscheiden , ob es eine unabhängige Menge von Größe hat l . Dies ist äquivalent zu der Frage , ob G eine Knotenüberdeckung der Größe hat n - l . Wir verwenden also unseren obigen Algorithmus, um die Antwort in O ( 2 n - ℓ n 2 ) zu berechnen . Für unseren FPT-Algorithmus hängt die Exponentialfunktion in der Laufzeit möglicherweise von dem Parameter ab, der ℓ ist, sie hängt jedoch möglicherweise NICHT von der Größe der Eingabe ab, die n istGnℓGn−ℓO(2n−ℓn2)ℓn; Der von uns skizzierte Ansatz verwendet jedoch das Zeitexponential in und ist daher kein FPT-Parameter in Bezug auf den Parameter ℓ . Aus diesem Grund bedeutet die Tatsache, dass sich Vertex Cover in FPT befindet, nicht, dass sich Independent Set in FPT befindet.n−ℓℓ