Mindestgewicht Unterwald der gegebenen Kardinalität

Diese Frage wurde durch eine Frage zum Stapelüberlauf motiviert .

Angenommen, Sie erhalten einen Wurzelbaum (dh es gibt eine Wurzel und Knoten haben Kinder usw.) auf n Knoten (mit 1 , 2 , … , n bezeichnet ).$T$$n$$1, 2, \dots, n$

Jedem Scheitelpunkt ist ein nicht negatives ganzzahliges Gewicht zugeordnet: w i .$i$$w_i$

Zusätzlich erhalten Sie eine ganze Zahl , so dass 1 ≤ k ≤ n ist .$k$$1 \le k \le n$

Das Gewicht einer Menge von Knoten S ⊆ { 1 , 2 , … , n } ist die Summe der Gewichte der Knoten: ∑ s ∈ S w s .$W(S)$$S \subseteq \{1,2,\dots, n\}$$\sum_{s \in S} w_s$

Bei gegebener Eingabe , w i und k ,$T$$w_i$$k$

Die Aufgabe besteht darin, einen Teilwald * minimalem Gewicht von T zu finden , so dass S genau k Knoten hat (dh | S | = > k ).$S$$T$$S$$k$$|S| = > k$

Mit anderen Worten, für jeden Unterwald von T , so dass | S ' | = k , wir müssen W ( S ) ≤ W ( S ' ) haben .$S'$$T$$|S'| = k$$W(S) \leq W(S')$

Wenn die Anzahl der untergeordneten Knoten jedes Knotens begrenzt war (z. B. Binärbäume), gibt es einen Polynomzeitalgorithmus mit dynamischer Programmierung.

Ich habe das Gefühl, dass dies NP-schwer für allgemeine Bäume ist, aber ich konnte keine Referenzen / Beweise finden. Ich habe sogar hier gesucht , konnte aber nichts finden, was helfen könnte. Ich habe das Gefühl, dass dies NP-hart bleiben wird, selbst wenn Sie einschränken (und dies könnte einfacher zu beweisen sein).$w_i \in \{0,1\}$

Dies scheint ein gut untersuchtes Problem zu sein.

Weiß jemand, ob dies ein NP-Hard-Problem ist / ob ein P-Zeit-Algorithmus bekannt ist?

* Ein Unterwald von ist eine Teilmenge S von Knoten des Baums T , so dass, wenn x ∈ S ist , alle Kinder von x auch in S sind. (dh es ist eine disjunkte Vereinigung von verwurzelten Unterbäumen von T ).$T$$S$$T$$x \in S$$x$$S$$T$

PS: Bitte entschuldigen Sie, wenn sich herausstellt, dass ich etwas Offensichtliches verpasst habe und die Frage wirklich nicht zum Thema gehört.

$c_i\in\{0,1\}$$S$$k=\sum_{i\in S} c_i$$C$$C$

$v$$(v)$