NP-harte Probleme an Bäumen

Verschiedene Optimierungsprobleme, von denen bekannt ist, dass sie in allgemeinen Graphen NP-schwer sind, sind in der Polynomzeit (einige sogar in der linearen Zeit) trivial lösbar, wenn der Eingabegraph ein Baum ist. Beispiele hierfür sind minimale Scheitelpunktabdeckung, maximale unabhängige Menge und Subgraph-Isomorphie. Nennen Sie einige natürliche Optimierungsprobleme, die für Bäume NP-hart bleiben.

Sie können "natürliche" und "bekannte" Beispiele für Grafikprobleme finden, die schwierig sind, selbst wenn sie auf Bäume aus unserer Standardreferenz beschränkt sind . Beispiele:

• Integraler k- Multicommodity Flow ,
• Gemeinsamer eingebetteter Teilbaum ,
• Gemeinsamer Teilbaum .

(Diese werden als Baumprobleme formuliert, aber Sie können sie auf beliebige Diagramme verallgemeinern. Dann werden die obigen Formulierungen als Sonderfall erhalten, wenn Sie Ihre Eingabe auf Bäume beschränken.)

Ein allgemeineres Rezept zum Erzeugen von Problemen, die für Bäume hart sind: Nehmen Sie alle NP-harten Probleme in Bezug auf Supersequenzen , Superstrings , Teilstrings usw. und interpretieren Sie einen String als beschrifteten Pfadgraphen neu. Stellen Sie dann die analoge Frage für allgemeine Graphen (Teilsequenz ≈ Graph Minor, Teilstring ≈ Subgraph). Und wir wissen, dass das Problem selbst auf Bäumen (und auf Wegen) NP-schwer ist.

Es gibt auch viele Probleme, die für gewichtete Sterne schwierig sind, wenn man das Teilmengenproblem herabsetzt. Ein natürliches Beispiel ist:

• TSP mit zwei Wanderern : Wenn ein kantengewichteter Graph und eine Grenze W gegeben sind , können wir zwei geschlossene Wege C 1 und C 2 in G finden, so dass jeder Weg ein Gesamtgewicht von höchstens W hat und jeder Knoten von G durch a abgedeckt ist mindestens ein Spaziergang?$G$$W$$C_1$$C_2$$G$$W$$G$

Auch hier ist es leicht, Variationen des Themas zu finden.

Es ist NP-vollständig, um zu bestimmen, ob ein Baum in das zweidimensionale Ganzzahlgitter eingebettet werden kann, wobei die Baumscheitelpunkte auf unterschiedlichen Gitterpunkten und die Baumkanten auf Gitterkanten platziert werden.

Siehe z. B. Gregori, IPL 1989 .

Gruppe Steiner Problem ist ein schönes Beispiel. Die Eingabe für dieses Problem ist ein ungerichteter kantengewichteter Graph und k Gruppen von Eckpunkten S 1 , S 2 , ... , S k . Ziel ist es, einen Mindestgewichtungsbaum zu finden, der mindestens einen Eckpunkt aus jeder Gruppe enthält. Es ist leicht zu erkennen, dass das Set-Cover-Problem ein Sonderfall ist, auch wenn G ein Stern ist. Daher ist es schwierig, das Problem innerhalb eines O ( log n ) -Faktors anzunähern, es sei denn, P = NP. Darüber hinaus wurde von Halperin und Krauthgamer gezeigt, dass sich das Problem nur schwer in einem annähern lässt$G=(V,E)$$S_1, S_2, \ldots, S_k$$O(\log n)$ Faktor für jegliche feste ε > 0 , es sei denn NP hat randomisierte quasi-Polynomzeit Algorithmen (das Papier für eine genaue Aussage sehen). AufBäumengibt es eine O ( log 2 n ) -Näherung von Garg, Konjevod und Ravi.$O(\log^{2-\epsilon} n)$$\epsilon > 0$$O(\log^2 n)$

Eines der schwierigsten Probleme bei Bäumen ist das Problem der minimalen Bandbreite. Es ist -hart bei Bäumen mit maximalem Grad 3. Es ist auch NP -hart bei kreisförmigen Raupen mit einer Haarlänge von 1.$NP$

Verweise:

Michael R. Garey, Ronald L. Graham, David S. Johnson und Donald E. Knuth. Komplexitätsergebnisse für die Bandbreitenminimierung. SIAM J. Appl. Math., 34 (3): 477 & ndash; 495, 1978.

Burkhard Monien. Das Bandbreitenminimierungsproblem für Raupen mit Haarlänge 3 ist NP-vollständig. SIAM J. Algebraic Discrete Methods, 7 (4): 505 & ndash; 512, 1986.

W. Unger. Die Komplexität der Approximation des Bandbreitenproblems. In FOCS, Seiten 82–91, 1998

$G$$G$$k$$S$$k$$G$

Dieses Problem ist NP-hart (und MAX-SNP-hart) an Sternen [ 1 ].

[ 1 ] Garg, Vazirani und Yannakakis, Primal-Dual Approximation Algorithmen für Integral Flow und Multicut in Trees , Algorithmica, 18 (1), S. 3-20, 1997.

Das Feuerwehrproblem hat in letzter Zeit einiges an Aufmerksamkeit erhalten und ist (etwas überraschenderweise) NP-hart bei Bäumen mit maximalem Grad 3 . Es ist eigentlich eine ziemlich natürliche Frage, die wie folgt beschrieben wird:

$k$

Oder eine Variante, auch NP-hart : Gibt es für den Feuerwehrmann eine Strategie, bei der kein Blatt brennt?

Ein Problem, von dem man annehmen könnte, dass es NICHT schwer für Bäume ist, ist das Freeze-Tag-Problem in der Berechnungsgeometrie : Kurz gesagt, das Problem, Weckvorgänge für Roboter zu planen, beginnend mit einem einzelnen Weckbot, wobei Makespan das Kostenmaß ist.

Es ist bekannt, dass es für gewichtete Sterngraphen NP-schwer ist. Es ist jedoch offen, ob das Problem in der Ebene NP-schwer ist. Man könnte argumentieren, dass die NP-Härte nicht von "Baum" kommt, sondern von "willkürlicher Metrik", aber Sterngraphen geben Ihnen nur einen begrenzten Raum an Metriken.

$T$$V(T)$$k$$\phi: V(T)\to \{1,\ldots, k\}$$T$$i$$i+1$$K$$K$

$k$

Reich Färbung ist NP-hart für Bäume.

$r$$s$$G$$r$$(s, r)$$s$$\text{COL}_r$$G$$s$

$s$$\text{COL}_r$$s \in \{3,\ldots, 2r − 1\}$$s$

Ein Fluss in einem Netzwerk ist konfluent, wenn an jedem Knoten höchstens ein ausgehender Bogen verwendet wird. Die NP-Härte zur Bestimmung eines maximalen konfluenten Flusses in einem Baum (Durchmesser 4, mit mehreren zulässigen Senken) ist belegt in: D. Dressler und M. Strehler, Capacitated Confluent Flows: Complexity and Algorithms, LNCS 6078 (2010) 347-358 .

$TS$$T$$T_1\in TS$$T$$T_1$$T$

Das Problem ist nur dann NP-schwer (tatsächlich ist es schwer zu approximieren), wenn alle Eingabebäume einen unbegrenzten Grad haben.

Eine harmonische Färbung eines einfachen Diagramms ist eine richtige Scheitelpunktfärbung, sodass jedes Farbpaar an höchstens einer Kante zusammen angezeigt wird. Die harmonische chromatische Zahl eines Graphen ist die geringste Anzahl von Farben in einer harmonischen Färbung des Graphen. Es wurde von Edwards und McDiarmid gezeigt, dass dieses Problem, Harmonious Chromatic Number zu finden, auf Bäumen NP-vollständig ist . Tatsächlich zeigen sie auch, dass das Problem für Bäume mit Radius 3 NP-vollständig bleibt.

$u$$u$

Beachten Sie, dass bei dem verwandten (und bekannteren) TSP-Problem das Ziel darin besteht, das Maximum und nicht die durchschnittliche Latenz zu minimieren. Ich denke, das TRP wird allgemein als komplizierteres Problem angesehen (in der Tat ist TSP in P für Baummetriken).

Die NP-Härte von Bäumen wurde in RA Sitters "Das Problem der minimalen Latenz ist NP-hart für gewichtete Bäume", ISCO 2002, gezeigt.

Das Graphmotiv ist ein NP-vollständiges Problem bei Bäumen mit maximalem Grad drei:

Fellows, Fertin, Hermelin und Vialette, scharfe Grenzlinien für die Nachverfolgung verbundener Motive in vertexfarbenen Diagrammen Skriptum in Computer Science, 2007, Band 4596/2007, 340-351

Es gibt ein (sehr allgemeines) Problem, das ich mir im Rahmen eines Projekts angeschaut habe: Eine Variante dieses Problems bleibt auch bei Graphen mit zwei Eckpunkten und einer einzigen Kante NP-hart, und eine andere Variante ist NP-hart bei Bäumen. Da die NP-Härte der ersten Variante offensichtlich nicht von der Form des Graphen herrührt, ist die zweite wahrscheinlich interessanter.

$S$$C$$G=(V,E)$$S \subset V$$C \subset V$$S \cap C = \emptyset$$s \in S$$|s|$$F$$f \in F$$|f|$$e \in E$$t_e$$R \subseteq C \times F$$(c,f) \in R$$c$$f$

$s \in S$$A_s$$\sum_{f \in A_s} |f| \leq |s|$$P_r$$G$$r = (c,f) \in R$$c$$s$$f \in A_s$$e$$D_e$$r = (c,f) \in D_e$$P_r$$e$$\sum_{(c,f) \in D_e}|f| \leq t_e$

Wenn Sie nicht alle Downloads erfordern geroutet werden , sondern versuchen , die Summe der Dateigrößen der Downloads zu maximieren , die sind geroutet können Sie leicht Subset-Summe für dieses Problem vermeiden: Sie haben einen einzelnen Server mit riesigen Mengen an Speicherplatz, ein Einzelner Client, der mit einer Kante mit einer Kapazität verbunden ist, die dem Zielwert der Teilmengeninstanz entspricht, und für jede Ganzzahl in der Teilmengeninstanz wird eine Datei mit der gleichen Größe erstellt. Der Kunde möchte dann alle diese Dateien herunterladen.

Eine (viel?) Interessantere Variante für diese Frage ist der Fall, dass Sie versuchen, die Anzahl der Kanten zu minimieren, deren Kapazität überschritten wird - vielleicht modelliert das Netzwerk, an dem wir arbeiten, die transatlantischen Internetkabel und das Ersetzen eines Kabels ist so kostspielig, dass der Unterschied besteht Die Kosten für ein schnelleres Upgrade auf einen Faktor zwei und ein schnelleres Upgrade auf einen Faktor drei sind vernachlässigbar gering. Wir sagen auch, dass die Platzierungen der Dateien auf den Servern bereits angegeben sind und nicht geändert werden können, sodass wir uns ausschließlich mit den Routing-Problemen befassen.

$U$$S \subseteq P(U)$$u \in U$

$s \in S$$u \in s$$u$

Die Idee ist, dass der Client die Dateien benötigt, die für alle Servercluster eindeutig sind, sodass die Ränder, die den Client mit den Serverclustern verbinden, bereits an der Grenze ihrer Kapazitäten sind (ihre Kapazitäten sind 1, die Dateien haben Größe 1). Wenn der Client Elemente des Universums von einem Cluster herunterlädt, wird die Kante, die eine Verbindung zu diesem Cluster herstellt, überlastet. Da müssen wir nur die Anzahl minimierenBei Überlastungen (und nicht, um wie viel wir die Kapazitäten überschreiten) kann der Client die restlichen Elemente des Universums, die auf diesem Servercluster gehostet sind (also die übrigen Elemente der entsprechenden Teilmenge), ohne Abzüge herunterladen. Dies entspricht daher der gewählten Teilmenge. Der Client möchte alle Dateien im Universum einmal herunterladen, damit das Universum tatsächlich abgedeckt wird. Um die Anzahl der überladenen Kanten zu minimieren, müssen wir die Anzahl der ausgewählten Teilmengen minimieren.

Beachten Sie, dass die obige Konstruktion einen Baumgraphen ergibt. Dies ist also ein Beispiel für ein NP-hartes Problem bei Bäumen.

Das Problem der unteilbaren Strömung. Tatsächlich ist UFP selbst an einer einzigen Kante hart (Knapsack).

$G(V, E)$$NP$

Formal ist das Problem:

TEILTE GRAFIKISOMORPHISMUS

$T = (V,E)$

$\{E1,E2 \}$$E$$T1 = (V,E1)$$T2 = (V,E2)$

Die NP-Vollständigkeitskolumne zitiert das unveröffentlichte Manuskript von Graham und Robinson, "Isomorphic Factorization IX: Even Trees".

DS Johnson, Die NP-Vollständigkeitssäule: ein fortlaufender Leitfaden, Journal of Algorithms 3 (1982), 288–300

Irgendwie habe ich das Problem der achromatischen Zahl in der letzten Antwort verpasst, aber dies ist eines der natürlichsten Probleme, die ich kenne und die NP-vollständig auf Bäumen sind.

Eine vollständige Färbung eines Diagramms ist eine ordnungsgemäße Färbung, sodass zwischen jedem Paar von Farbklassen eine Kante vorhanden ist. Die Färbung kann im Gegensatz zur Harmonischen Färbung als richtige Färbung angegeben werden, so dass jedes Farbpaar an mindestens einer Kante erscheint. Es kann auch als vollständiger (oder vollständiger) Homomorphismus zu einer Clique angegeben werden. Das Problem der achromatischen Zahl ist ein Maximierungsproblem , bei dem nach der größten Anzahl von Farbklassen in einer vollständigen Färbung des Diagramms gesucht wird.

Yannakakis und Gravil haben bewiesen, dass dieses Problem bei der Ergänzung von zweigliedrigen Graphen NP-schwer ist . Cairnie und Edwards erweiterten dieses Ergebnis und zeigten, dass das Problem bei Bäumen NP-vollständig ist .

Auf dem Gebiet der Approximationsalgorithmen [ 3 , 4 , 5 ] wurde viel Arbeit zu diesem Problem geleistet .

$n$$k$$\lceil\frac{n}{k}\rceil$

Ist Circuit SAT auf Bäumen NPC ?. Die inneren Eckpunkte des Baums werden als ODER / UND-Gatter bezeichnet. Blätter sind Eingaben. Stellen Sie fest, ob für die Schaltung eine Reihe zufriedenstellender Eingaben vorhanden ist, die mit True bewertet werden sollen.

$2^k - 1$