Finden einer Primzahl, die größer als eine gegebene Schranke ist

Ist ein deterministischer Polynom-Zeit-Algorithmus für das folgende Problem bekannt:

Eingabe: eine natürliche Zahl (in binärer Kodierung) $n$

Ausgabe: eine Primzahl . $p > n$

(Laut einer Liste offener Probleme von Leonard Adleman war das Problem 1995 offen.)

— Vincenzo
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+1: Es hat mich daran erinnert, dass es sich bei dem entsprechenden natürlichen Entscheidungsproblem nicht um einen Primärtest handelt (der in

), sondern um das folgende Problem: Gibt es bei

eine Primzahl im Intervall

P

$\mathbf{P}$

a < b

$a<b$

[a, b]

$[a,b]$

— Kaveh

@Kaveh: Drei Finger zeigen auf mich zurück, denke ich. Wir sollten eine Richtlinie aufstellen, die Antworten in Kommentaren verbietet;)

— Hsien-Chih Chang 張顯張顯

Antworten:

Das derzeit beste unbedingte Ergebnis wurde durch Odlyzko gegeben, die ein erstklassiges findet in Zeit. Die starke Vermutung im Polymath4-Projekt versucht zu klären, ob dies in polynomialer Zeit unter vernünftigen zahlentheoretischen Annahmen wie der GRH möglich ist. $p >N$ $O(N^{1/2 + o(1)})$

http://michaelnielsen.org/polymath1/index.php?title=Finding_primes

Derzeit versucht das Projekt die folgende Frage zu beantworten:

Bei einer Anzahl und einen Abstand zwischen und , Check - in Zeit für einig , wenn das Intervall eine Primzahl enthält. $N$ $N$ $2N$ $O(N^{1/2 - c})$ $c>0$

Bisher haben sie eine Strategie, die die Parität der Anzahl der Primzahlen im Intervall bestimmt.

http://polymathprojects.org/2010/06/29/draft-version-of-polymath4-paper/

— Cong Han
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Unter der Annahme einer Standardvermutung in der Zahlentheorie, in der es heißt

Cramer's Vermutung : Sei die n-te Primzahl. Dann ist . $p_n$ $p_{n+1}-p_n = O(\log^2 p_n)$

Wir haben einen deterministischen Polynom-Zeit-Algorithmus für das Problem, indem wir einfach einen Primalitätstest für jede Zahl ausführen, die größer als beginnend mit . (Natürlich sollte groß genug sein; für kleine wir es separat behandelt.) $n$ $n+1$ $n$ $n$

Ich bin mir aber nicht sicher, ob dies unbedingt bewiesen werden kann.

— Hsien-Chih Chang 張顯張顯
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Ich bin gespannt, wie die Vermutung von Cramér ist. Ich hatte den Eindruck, dass die Chancen dagegen waren.

— Cong Han

@Cong: Ich kenne die Vermutung nicht wirklich, und ich habe den Eindruck, dass wir Beweise für numerische Ergebnisse haben und sie auch im Zufallsmodell gelten. Gibt es Hinweise darauf, dass die Vermutung falsch sein könnte? Vielleicht sollte ich "stark" anstelle von "Standard" angeben.

— Hsien-Chih Chang 張顯之

@ Hsien-Chih: Ich weiß sehr wenig darüber (abgesehen von einigem Hörensagen und einem vorübergehenden Interesse an den Polymath-Projekten), aber dieser Artikel von Granville, der aus dem Wiki über die Vermutung verlinkt ist, scheint dies nahezulegen: dartmouth.edu/~ chance / chance_news / for_chance_news / Riemann /…

— Cong Han

@Cong: Scheint eine nette Lektüre zu sein, ich werde sie in ein paar Tagen durchgehen!

— Hsien-Chih Chang 張顯之