Was ist die genaue Definition von Random K-SAT?

Es gibt 4 verschiedene Einschränkungen, die wir bei der Definition von Random K-SAT haben können.
1) Die Gesamtzahl der Literale in einer gegebenen Klausel ist genau K oder höchstens K
2) Ein gegebenes Literal kann mit oder ohne Ersetzung in derselben Klausel verwendet werden (A oder A oder A)
3) Eine gegebene Variable kann mit oder verwendet werden ohne Ersetzung in derselben Klausel (A oder ~ A oder ~ A)
4) Eine bestimmte Klausel kann mit oder ohne Ersetzung in einer bestimmten Formel verwendet werden.
Was wäre die "richtigste" Definition? Was sind die Vor- und Nachteile dieser unterschiedlichen Definitionen?

Wie zu Beginn dieser Diskussion in den Kommentaren ausgeführt wurde, gibt es nicht unbedingt eine einzige "richtige" Definition für zufällige SAT.$k$

$k$ $k$

Zwei Hauptmodelle:

Das Selman-Zufallsmodell - Wiederholte Klausel sind zulässig . Kyle gab diesen netten Hinweis in den Kommentaren zu seiner Antwort, ging jedoch fälschlicherweise davon aus, dass das Modell wiederholte Klauseln nicht zuließ. Die verlinkte (leicht abweichende) Version des Papiers enthält eine detailliertere Diskussion des Zufallsmodells in Abschnitt 3: "Diese Methode der Generierung erlaubt doppelte Klauseln in einer Formel ... Da N jedoch große Duplikate erhält, werden wir im Allgemeinen seltener wähle nur eine lineare Anzahl von Klauseln. "

$m$$2^k {n \choose k}$

Äquivalenz von Phasenübergangsstellen :

Der Phasenübergang (50% Erfüllbarkeitsschwelle) erfolgt jedoch im selben Verhältnis von Klausel zu Variable, unabhängig davon, welches dieser Modelle im Wesentlichen aus dem Grund gewählt wurde, dass Selman et al. vermerkt in ihrem Papier.

Lassen die erwartete Anzahl der identischen Paaren von Klauseln in einem Selman Zufall bezeichnet -SAT Instanz. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmtes Satzpaar identisch ist, beträgt , während die Gesamtzahl der Satzpaare beträgt . Durch die Linearität der Erwartung ist .$A(n,m,k)$$(n,m,k)$$p = 1/(2^k {n \choose k})$$N = {m \choose 2}$$A(n,m,k) = p \cdot N = {m \choose 2}/{2^k {n \choose k}}$

Nach Theorem 3 in [1] tritt die nachweisbare Obergrenze für den Ort des SAT-Phasenübergangs nach dem Achlioptas-Modell auf, wenn . Befestigungs und Einstellen erhalten wir$k$$m = O(2^k n)$$k \geq 3$$m = O(2^k n)$

$A(n,m,k) = {m \choose 2}/{2^k {n \choose k}} = O(m^2)/O(n^k) = O(n^2)/O(n^k)$ .

Dann, weil , , was bedeutet, dass es in Erwartung null wiederholte Klauseln um den SAT gibt Phasenübergang bei der Erzeugung zufälliger SAT-Formeln mit dem Selman-Modell.$k \geq 3$$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} O(n^2)/O(n^k) = 0$$k$

Schamlose Eigenwerbung - Ich diskutiere diese Themen kurz in Abschnitt 4.1 meiner Masterarbeit .

Zufällige QBF

Wie sich herausstellt, ist die Situation für zufällige QBF viel interessanter. Was sind AFAIK die ersten drei Artikel über zufällige QBF schlug jeweils ein neues Zufallsmodell vor und kritisierte ihren Vorgänger.

Siehe die folgenden Papiere:

• Cadoli et al. "Experimentelle Analyse der Berechnungskosten für die Bewertung quantifizierter Boolescher Formeln." AI * IA 1997
• Gent + Walsh "Beyond NP: der QSAT-Phasenübergang." AAAI / IAAI 1999
• Chen + Interian "Ein Modell zur Erzeugung zufälliger quantifizierter Boolescher Formeln." IJCAI 2005

[Der Klarheit halber bearbeitet]

Die am weitesten verbreitete Definition in der Forschungsliteratur ist die, die genau k verschiedene Variablen pro Klausel und keine doppelten Klauseln erfordert. Wenn Sie die Einschränkung der eindeutigen Variablen lockern, ist ein Großteil der vorhandenen Forschung für Sie nicht sinnvoll, da Ihre Ergebnisse nicht mit ihren Ergebnissen übereinstimmen. Der bekannte Sat / Unsat-Phasenübergang tritt bei einem anderen Verhältnis von Klausel zu Variable auf (sofern der Übergang überhaupt vorhanden ist), und Sie werden keine harten SAT-Instanzen finden, die Sie aus der Literatur erwarten würden.