Gibt es ein Quantenäquivalent zum Zeithierarchiesatz?

Mein Lieblingssatz in der Komplexitätstheorie ist der Zeithierarchiesatz. Dies geschah jedoch 1965.

Ich wollte dann wissen, ob es etwas Ähnliches für Quantum Computing gibt.

Wenn nicht, welche Personen / Gruppen arbeiten in dieser Richtung?

Ein neueres Zitat für Zeithierarchiesätze ist "Eine generische Zeithierarchie für semantische Modelle mit einem Ratschlag" von Dieter van Melkebeek und Konstantin Pervyshev, die Sie auf Dieter's Webseite erhalten können. Die Techniken dort geben eine Zeithierarchie mit einem Hinweis für "jedes vernünftige" semantische Rechenmodell, einschließlich Quantenalgorithmen.

Außerdem ist es normalerweise relativ einfach, eine Hierarchie für die von semantischen Modellen berechneten Versprechungsprobleme zu erhalten. Ein Versprechen-Problem erfordert nur einen Algorithmus, der sich bei einigen Eingaben "gut" verhält (z. B. einen begrenzten Fehler aufweist) - also bei Eingaben, die als Teil des Versprechen-Problems ausgewählt wurden. Für Eingaben, die nicht als Teil des Versprechens ausgewählt wurden, kann sich der Algorithmus willkürlich verhalten (z. B. ohne begrenzten Fehler). Eine Hierarchie für Versprechungsprobleme ist ein folkloristisches Ergebnis. Einen Beweis für die BPP-Einstellung liefern Dieter van Melkebeek und Jeff Kinne (ich) in "Space Hierarchy Results for Randomized and Other Semantic Models", die Sie von Dieter's oder meiner Webseite erhalten können. Dies sollte auch für Quantenalgorithmen gelten.

Die Antwort ist also, dass angemessene Hierarchiesätze für Quantenalgorithmen bekannt sind, die entweder einen Ratschlag erhalten oder problematische Eingaben ignorieren dürfen. Einige der Techniken für diese Ergebnisse beruhen auf den Eigenschaften randomisierter Algorithmen. Es wäre interessant zu versuchen, die Eigenschaften von Quantenalgorithmen im Bereich der Hierarchiesätze auszunutzen.

Ein etwas verwandter Bereich, in dem es für Quantenalgorithmen spezifische Ergebnisse gibt, ist der Bereich der Zeit-Raum-Untergrenzen. Es gibt eine Umfrage von Dieter van Melkebeek: "Eine Umfrage unter Grenzen für Zufriedenheit und verwandte Probleme".

Die Antwort ist nein. Wir haben nicht einmal einen Zeithierarchiesatz für die probabilistische Polynomzeit mit beschränktem Fehler (dh BPTIME). Die deterministischen und nicht deterministischen Zeithierarchiesätze haben ein Diagonalisierungsargument, das für semantische Klassen nicht zu funktionieren scheint. Aus diesem Grund gibt es keine starken Hierarchiesätze für semantische Klassen.

Das beste Ergebnis, das mir bekannt ist, ist ein Hierarchiesatz für BPTIME mit einem Hinweis: Fortnow, L .; Santhanam, R. (2004). Hierarchiesätze für die probabilistische Polynomzeit .

Ich kenne keine Gruppe, die an einem Theorem der Quantenzeithierarchie arbeitet. Ich würde vermuten, dass dies daran liegt, dass das Problem der BPTIME-Hierarchie anscheinend einfacher ist, sodass Forscher dieses Problem stattdessen angreifen würden.

(Einige verwandte Fragen: Gibt es eine syntaktische Charakterisierung für BPP, BQP oder QMA? Für MathOverflow und Semantic vs. Syntactic Complexity Classes für cstheory.)

Die nichtdeterministischen quantenzeit- und raumbegrenzten Klassen sind solche, bei denen die Sprachen die Sätze von Zeichenketten sind, die von Quantenturingmaschinen akzeptiert werden, die innerhalb der entsprechenden Grenzen mit einer Wahrscheinlichkeit ungleich Null arbeiten.

In Abschnitt 8 von " Beweisen der Macht der Nachselektion " zeigen wir, dass enge Hierarchien für die nichtdeterministischen quantenzeit- und raumgebundenen Klassen existieren.