Ein Spiel auf mehreren Grafiken

Betrachten Sie das folgende Spiel auf einem gerichteten gewichteten Graphen $G$ mit einem Chip an einem Knoten.

Alle Knoten von $G$ sind mit A oder B markiert.

Es gibt zwei Spieler Alice und Bob. Das Ziel von Alice (Bob) ist es, den Chip zu einem Knoten zu verschieben, der mit A (B) markiert ist.

Anfangs haben Alice und Bob $m_A$ bzw. $m_B$ Dollar.

Befindet sich ein Spieler in einer Verlustposition (dh die aktuelle Position des Chips ist durch einen entgegengesetzten Buchstaben gekennzeichnet), kann er den Chip zu einem benachbarten Knoten bewegen. Ein solcher Umzug kostet einige Dollar (das Gewicht der entsprechenden Kante).

Der Spieler verliert, wenn er sich in einer Verlustposition befindet und kein Geld hat, um dies zu beheben.

Betrachten Sie nun die Sprache GAME, die aus allen gerichteten gewichteten Graphen $G$ (alle Gewichte sind positive ganze Zahlen), der Anfangsposition des Chips und den Großbuchstaben von Alice und Bob besteht, die in der unären Darstellung angegeben sind

so dass Alice eine Gewinnstrategie bei diesem Spiel hat.

Die Sprache GAME gehört zu P . In der Tat wird die aktuelle Position des Spiels durch die Position des Chips und die aktuellen Hauptstädte von Alice und Bob definiert, sodass eine dynamische Programmierung funktioniert (hier ist es wichtig, dass die Anfangsbuchstaben in der unären Darstellung angegeben werden).

Betrachten Sie nun die folgende Verallgemeinerung dieses Spiels. Betrachten Sie mehrere gerichtete gewichtete Graphen $G_1, \ldots G_n$ mit einem Chip an jedem Graphen. Alle Knoten aller Graphen sind mit A und B markiert. Jetzt gewinnt Bob, wenn alle Chips mit B markiert sind, und Alice gewinnt, wenn mindestens ein Chip mit A markiert ist.

Betrachten Sie die Sprache MULTI-GAME, die aus allen Graphen $G_1, \ldots, G_n$ , Anfangspositionen und Großbuchstaben $m_A$ und $m_B$ (in der unären Darstellung) besteht, so dass Alice beim entsprechenden Spiel gewinnt. Hier ist es wichtig, dass Großbuchstaben für alle Graphen gleich sind, es handelt sich also nicht nur um mehrere unabhängige GAMEs.

Frage Wie komplex ist die Sprache MULTI-GAMES? (Gehört es auch zu P oder gibt es einige Gründe dafür, dass dieses Problem schwierig ist?)

UPD1 Neal Young schlug vor, Conways Theorie zu verwenden. Ich weiß jedoch nicht, ob es möglich ist, diese Theorie für mehrere Spiele mit gemeinsamem Kapital zu verwenden.

UPD2 Ich möchte ein Beispiel zeigen, das zeigt, dass MULTI-GAME nicht sehr einfach ist. Lassen Sie Alice ihr Kapital $m_A$ in einige $n$ Terme aufteilen. $m_A = a_1 + a_2 + \ldots a_n$ (Sie wird $a_i$ Dollar für den $i$ ten Graphen verwenden). Definieren Sie $b_i$ als minimale Zahl, so dass Bob im $i$ ten Spiel gewinnt, wenn Alice und Bob $a_i$ bzw. einen $b_i$ Dollar haben. Wenn $b_1 + \ldots b_n > m_B$ (für eine Aufteilung von$m_A = a_1 + a_2 + \ldots a_n$ ) gewinnt Alice. Das Gegenteil ist jedoch nicht der Fall. Betrachten Sie zwei Kopien des folgenden Diagramms (anfangs befindet sich der Chip links oben A):

Für einen Graphen gewinnt Bob, wenn $m_A=0$ und $m_B=2$ oder wenn $m_A=1$ und $m_B=3$ . Für das Spiel mit zwei Kopien dieses Graphen verliert Bob jedoch, wenn $m_A=1$ und $m_B=5$ . In der Tat muss Bob $4$ oder $5$ Dollar ausgeben , um beide Chips auf einen mit $B$ gekennzeichneten Knoten zu verschieben . Dann kann Alice mindestens einen Chip zu einem mit A gekennzeichneten Knoten verschieben. Danach hat Bob kein Geld mehr, um seine Position zu retten.

UPD3 Da die Frage nach beliebigen Graphen schwierig erscheint, sollten Sie bestimmte Graphen berücksichtigen. Bezeichnen Sie die Knoten eines Graphen $G_i$ als $1, \ldots k$ . Meine Einschränkung ist folgende: Für jedes Paar $i<j$ existiert eine Kante von $i$ nach $j$ und es gibt keine umgekehrte Kante. Es gibt auch eine Beschränkung für die Kosten von Kanten: Für $i<j<k$ die Kante $j$ bis $k$ nicht größer als von $i$ bis $k$ .

Update: wahrscheinlich falsch, vorerst als Aufzeichnung der Erkundung einer Allee. Zeige Kommentare.

Update 2: definitiv falsch.

Betrachten Sie einen Graphen der Form (B) -1-> (A) -1-> (B), dh $G = (V, E)$ , wobei $V = \{1, 2, 3\}$ , $E = \{(1, 2), (2, 3)\}$ , die Eckpunkte 1, 2, 3 sind mit B, A bzw. B gekennzeichnet, und den Kanten werden alle Kosten von 1 zugewiesen.

Definieren Sie eine 3-Spiele-Instanz von MULTI-GAME, indem Sie $m_A = m_B = 2$ , $G_1 = G_2 = G_3 = G$ , wobei alle drei Spiele auf Scheitelpunkt 1 beginnen. Alice kann dieses Spiel eindeutig nicht gewinnen.

Die folgende Wiederholung schlägt jedoch für $M[3,2,2]$ fehl : Es gibt keine Aufteilung von Bobs Geldern $2-u, u$ zwischen den ersten beiden Spielen und dem dritten Spiel, so dass für alle Aufteilungen von Alices Geldern $v, 2 - v$ sowohl $M[2, 2 - u, 2 - v] = B$ und $W[3, u, v] = B$ . Wenn$u = 1$ oder$u = 2$ , dann ist$M[2, 2 - u, 2] = A$ ; und wenn$u = 0$ dann$W[3, u, 2] = A$ .

Ich sehe keinen unmittelbaren Weg, um diesen Ansatz zu retten. Durch Umkehren der Quantifizierungsreihenfolge für $u$ und $v$ schlägt die Wiederholung für die Instanz in Update 2 des Fragenposts fehl.

Bei einer MULTI-GAME-Instanz $m_A, m_B, G_1, \dots, G_n,$

Vorberechnung

$W[k, x, y] = \begin{cases}A & \text{if Alice wins GAME on $G_k$ with initial funds $x$ for Alice and $y$ for Bob,} \\ B & \text{otherwise}\end{cases}$

für alle Spiele und alle $x \le m_A$ , $y \le m_B$ .

$M[k, x, y]$$k$$x \le m_A$$y \le m_B$$M[k, x, y] = B$$A$

$M[1, x, y] = W[1, x, y]$

und

$M[k+1, x, y] = B \quad\text{if and only if}\quad \exists v \forall u, W[k+1, u, v] = B \:\:\text{and}\:\: M[k, x-u, y-v] = B.$

$M[n, m_A, m_B] = A$

$[n]$$n+1$$n\ldots 0$$i+1$$i$$0\leq i\lt n$$0$$0$$n$$[n]$$\geq n$$0$$0$

$G$$\alpha$$\beta$$\alpha$$[i]$$\beta$$\beta$$[j]$$[k]$$j\lt k$$\alpha$$\beta$$\beta$$[j]$$[k]$$[k]$$[i]$$\{i\mid\{j\mid k\}\}$