Deterministische Fehlerreduzierung, Stand der Technik?

Angenommen, man hat einen randomisierten (BPP) Algorithmus $A$ Verwendung von $r$ Zufallsbits . Natürliche Wege , um ihre Erfolgswahrscheinlichkeit zu verstärken $1-\delta$ , für jede gewählte $\delta>0$ , sind

Unabhängige Läufe + Mehrheitsabstimmung: Laufen Sie $A$ unabhängig $T=\Theta(\log(1/\delta)$ Male und nehmen Sie die Mehrheitsabstimmung der Ausgänge. Dies erfordert $rT =\Theta(r\log(1/\delta))$ Bits der Zufälligkeit, und sprengt die Laufzeit um einen $T=\Theta(\log(1/\delta))$ Faktor.
Paarweise unabhängige Läufe + Chebyshev: Führe $A$ "paarweise unabhängig" $T=\Theta(1/\delta)$ Male aus und vergleiche mit einem Schwellenwert. Dies erfordert $rT =\Theta(r/\delta)$ Bits der Zufälligkeit und sprengt die Laufzeit um ein $T=\Theta(1/\delta)$ Faktor.

Karp, Pippenger und Sipser [1] (anscheinend, ich meine Hände nicht auf dem Papier bekommen konnte selbst, es ist ein Second-Hand - Konto) vorgesehen alternative Ansätze basierend auf starken regelmäßigen Expandern: im Wesentlichen finden Sie in den $2^r$ Knoten des Expanders wie die zufälligen Samen. Wählen Sie einen zufälligen Knoten des Expanders mit den $r$ zufälligen Bits und dann

Machen Sie von dort aus einen kurzen zufälligen Spaziergang der Länge $T=\Theta(\log(1/\delta))$ und führen Sie $A$ auf den $T$ Seeds aus, die den Knoten auf dem Pfad entsprechen, bevor Sie eine Mehrheitsentscheidung treffen. Dies erfordert $r+T = r+\Theta(\log(1/\delta))$ Bits der Zufälligkeit und vergrößert die Laufzeit um einen $T=\Theta(\log(1/\delta))$ Faktor.
Führen Sie $A$ auf allen Nachbarn des aktuellen Knotens (oder allgemeiner auf allen Knoten in einem Abstand $c$ zum aktuellen Knoten) aus, bevor Sie eine Mehrheitsentscheidung treffen. Dies erfordert $r$ Bits der Zufälligkeit und erhöht die Laufzeit um einen $T=d$ Faktor, wobei $d$ der Grad (oder $d^c$ für die Entfernung $c$ Nachbarschaft) ist. Wenn die Parameter gut eingestellt werden, kostet dies $T=\operatorname{poly}(1/\delta)$ hier.

Ich interessiere mich für die letzte Kugel, die einer deterministischen Fehlerreduzierung entspricht. Hat es nach [1] eine Verbesserung gegeben, die die Abhängigkeit von $T$ von $\delta$ verringert ? Was ist aktuell am besten erreichbar - $1/\delta^\gamma$ für welches $\gamma > 1$ ? $\gamma > 0$ ? (Für $\textsf{BPP}$ ? Für $\textsf{RP}$ ?)

Hinweis: Ich interessiere mich auch (sehr) für $\textsf{RP}$ anstelle von $\textsf{BPP}$ . Wie in [2] eingeführt, handelt es sich bei der relevanten Konstruktion dann nicht mehr um Expander, sondern um Dispergierer (siehe z. B. diese Vorlesungsnotizen von Ta-Shma, insb. Tabelle 3). Ich konnte jedoch weder die entsprechenden Grenzen für die deterministische (kein einziges zufälligeres Bit als das zulässige $r$ ) Verstärkung finden, noch (was noch wichtiger ist), welche expliziten Dispergiererkonstruktionen nach dem Stand der Technik für den relevanten Bereich von Parametern vorliegen .

[1] Karp, R., Pippenger, N. und Sipser, M., 1985. Ein Kompromiss zwischen Zeit und Zufälligkeit . In der AMS-Konferenz über probabilistische Computerkomplexität (Band 111).

[2] Cohen, A. und Wigderson, A., 1989, Oktober. Disperser, deterministische Verstärkung und schwache Zufallsquellen. In 30th Annual Symposium on Foundations of Computer Science (S. 14-19). IEEE.

— Clement C.
quelle

Ich verstehe Folgendes (hauptsächlich auf den oben erwähnten Vorlesungsnotizen von Ta-Shma , denen von van Melkebeek und denen von Cynthia Dwork . Soweit ich das beurteilen kann, sind Dispergierer großartig, um exponentiell zu verstärken, wenn ein paar weitere zufällige Bits gegeben sind , aber nicht wenn Es gibt 0 zusätzliche Zufälligkeiten.

— Clement C.

(Wenn jemand bereit ist, diese wenigen zusätzlichen Bits zu verwenden, dann hat Ta-Shmas Vorlesung einen sehr umfangreichen Satz von zusammenfassenden Tabellen). Ohne zusätzliche Zufälligkeit sieht der expander-basierte BPP / RP-Ansatz wie der einzige aus (siehe van Melkebeeks Notizen für BPP, Dworks für die RP-Variante): Beide sind sehr ähnlich und basieren auf dem Papier [1], von dem ich konnte kein direktes pdf finden). Keine scheint eine explizite gebunden auf dem Grad des Polynoms in dem geben

, wie es auf den Grad und die Expansion des Expanders Graphen abhängt.

p o l y (1 / δ)

$\mathrm{poly}(1/\delta)$

— Clement C.

Es wird in

mindestens linear sein : aber was wird es für die (derzeit) bekanntesten Konstruktionen von Expandergraphen sein? Eigentlich auch für probabilistische Konstruktionen?

1 / δ

$1/\delta$

— Clement C.

Ebenfalls relevant (aber nicht antwortet die spezifische Frage): Abschnitt 3.5.4 und Abschnitt 4 (Aufgabe 4.6) von Salil Vadhan des Pseudozufälligkeit .

— Clement C.

Gibt van Melkebeeks Vorlesungsskript nicht bereits eine $O(1/\delta)$ -Grenze an? Die dortige Schranke ist $\lambda$ höchstens $O(\sqrt{\delta})$ und wir können $\lambda = O(1/\sqrt{d})$ Verwendung bestehender Konstruktionen.

Auch in Dworks Vorlesungsskripten ist die Bedingung, dass die Ausdehnung für eine Konstante $C/\delta$ (bei Betrachtung eines Punktes im Abstand c wird im Wesentlichen die Potenzierung verwendet, um die Ausdehnung zu verbessern). Was wiederum mit Grad . $C$ $O(1/\delta)$

$\Omega(1/\delta)$

— Gast
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α > 0

$\alpha>0$

d

$d$

R = 2^{r}

$R=2^r$

λ \leq \sqrt{δ} \cdot C_{α}

$\lambda \leq \sqrt{\delta}\cdot C_\alpha$

C_{α}

$C_\alpha$

d

$d$

(N, d)

$(N,d)$

λ \leq C / \sqrt{d}

$\lambda \leq C/\sqrt{d}$ for all

N

$N$ ,

d

$d$ , all we need is

d = O_{α} (1 / δ)

$d = O_\alpha(1/\delta)$ for the bound to be satisfied.

— Clement C.

For instance, arbitrarily large Ramanujan graphs are known to exist (constructively) for any degree

d

$d$ such that

d - 1

$d-1$ is a prime power. But do we have explicit constructions of graphs with

λ = O (1 / \sqrt{d})

$\lambda = O(1/\sqrt{d})$ for all

n

$n$ (or, let's say, for all

n

$n$ which is a power of two)? (I'm not knowledgeable enough on that, and the only result of that sort I could find is Balu-Linial's construction which gives

O (\sqrt{(\log^{3} d) / d})

$O(\sqrt{(\log^3 d)/d})$ and is not strongly explicit).

— Clement C.