Anwendungen der algebraischen Geometrie in der Typentheorie / Programmiersprachentheorie

In letzter Zeit habe ich mich für algebraische Geometrie interessiert und angefangen, darüber zu lesen. Ich weiß immer noch sehr wenig über dieses Gebiet, aber ich möchte wissen, ob es irgendeinen Zusammenhang mit meinem Hauptgebiet, der Typentheorie und den Programmiersprachen hat.

Ich weiß, dass die algebraische Topologie viele Anwendungen in der Typentheorie hat (Homotopietypentheorie und viele mehr), aber was ist mit der algebraischen Geometrie, abgesehen davon, dass sowohl die Typentheorie / PL-Theorie als auch die AG gute Motivatoren der Kategorietheorie sind?

Meines Wissens (was definitiv unvollständig ist) wurde relativ wenig daran gearbeitet, vermutlich weil es erforderlich ist, zwei relativ komplizierte Wissensbestände zu assimilieren. Wenig bedeutet jedoch nicht, dass es nicht existiert. Thierry Coquand und seine Mitarbeiter haben einige Artikel über die Zusammenhänge zwischen kommutativer Algebra und konstruktiver Logik verfasst.

• Thierry Coquand, Henri Lombardi. Ein logischer Ansatz zur abstrakten Algebra .

  Dieses Papier hat mich als Doktorand sehr beeindruckt - die selbstbewusste und freie Art und Weise, Ideen aus der Beweistheorie und der Modelltheorie zu verwenden, um nicht triviale, richtige Mathematik zu betreiben, habe ich sehr bewundert und strebe immer noch danach.

• Henri Lombardi und Claude Quitté haben ein (frei verfügbares) Lehrbuch, Kommutative Algebra: Konstruktive Methoden .

  Wie der Titel schon sagt, handelt es sich hierbei eher um eine kommutative Algebra als um eine algebraische Geometrie. Da jedoch die kommutative Algebra einen Großteil der Infrastruktur für die algebraische Geometrie bereitstellt, ist dies weiterhin von Interesse.

Es gibt auch eine Reihe sehr interessanter Doktorarbeiten in diesem Bereich:

• Andres Mörtbergs Doktorarbeit Formalisierung von Verfeinerungen und konstruktiver Algebra in der Typentheorie

  Sobald Sie einen konstruktiven Beweis haben, haben Sie einen Algorithmus. Diese Arbeit befasst sich mit der Effizienz dieser Algorithmen.

• Bassel Mannaas Doktorarbeit, Garbensemantik in konstruktiver Algebra und Typentheorie

  In dieser Arbeit beweist er konstruktiv die Richtigkeit des Newton-Puiseux-Theorems sowie die Unabhängigkeit von Markovs Prinzip. Es bietet ein schönes Beispiel dafür, wie garbensemantische Methoden sowohl in der Geometrie als auch in der Logik Anwendung finden.

• Ingo Blechschmidts Doktorarbeit, Verwendung der internen Sprache von Toposen in algebraischer Geometrie,

  Diese Arbeit befasst sich mit der Wiederholung vieler der üblichen Beweise für algebraische Geometrie in der internen Sprache der kleinen Zariski-Topos, die mit einem Schema verbunden sind, und ergibt eine Art "synthetische algebraische Geometrie". (Er macht auch "synthetische Schematheorie" unter Verwendung der großen Zariski-Topos). Wie zu erwarten ist, müssen die Beweise in einem intuitionistischen Stil erstellt werden, da Topoi im Allgemeinen nicht boolesch sind.

Es lohnt sich auch, auf die folgende Referenz hinzuweisen:

• Saunders Mac Lane, Ieke Moerdijk. Garben in Geometrie und Logik Garben in Geometrie und Logik: Eine erste Einführung in die Topos-Theorie .

  Ein Großteil der in dieser Arbeit verwendeten Technologie basiert auf den Verbindungen zwischen Topos-Theorie, Logik und Geometrie. Dies ist die Standardreferenz, obwohl ich sie meistens über die Papiere von Steve Vickers gelernt habe.

Dies ist möglicherweise nicht genau das, wonach Sie suchen, aber eine Anwendung der algebraischen Geometrie in Programmiersprachen ist die Analyse linearer Schleifen:

Eine lineare Schleife ist ein sehr einfaches Programm der Form:

$x=s$

$x\notin F$

$x\leftarrow Ax$

$s,x\in \mathbb Q^d$$A\in \mathbb Q^{d\times d}$$F$

$A$$\{A^ns: n\in \mathbb N\}$$A$

Als guten Ausgangspunkt können Sie sich das Papier Über die Komplexität des Orbit-Problems ansehen .