Das Spiel der Drillinge wird durch eine endliche Menge von Elementen und eine endliche Mehrfachmenge die Tripletts von Elementen enthält. Zwei Spieler wählen abwechselnd Elemente aus bis alle Elemente aufgenommen sind. Dann ist die Punktzahl jedes Spielers die Anzahl der Drillinge von in denen er mindestens 2 Elemente hat.
Ein Standardargument, das Strategie stiehlt, zeigt, dass der erste Spieler immer mindestens punkten kann T | / 2 . Nehmen wir im Widerspruch an, dass es falsch ist. Dann kann der zweite Spieler mehr als erzielen T | / 2 . Aber dann kann der erste Spieler, der die Gewinnstrategie des zweiten Spielers kopiert, mehr als Punkte erzielen T | / 2 auch. Dies ist ein Widerspruch, da die Summe der Punkte .
FRAGE: Was ist eine explizite Strategie für den ersten Spieler, der eine Punktzahl von mindestens ?
BEARBEITEN: Hier ist eine explizite Strategie für den ersten Spieler, der mindestens erhält T | / 8 . Ordnen Sie jedem Triplett in ein potentielles basierend auf der Anzahl seiner Elemente, die der (erste, zweite) Spieler genommen hat:
Die Strategie von Spieler 1 lautet: Wählen Sie ein Element aus, das die potenzielle Summe maximiert. Angenommen, das Element ist und das als nächstes von Spieler 2 ausgewählte Element ist . Ich behaupte, dass die Potentialsumme nach diesen beiden Zügen schwach zunimmt:
- Das Potential eines Tripletts, das weder noch enthält, ändert sich nicht.
- Das Potential eines Tripletts, das sowohl als auch ändert sich von zu , das immer mindestens genauso groß ist.
- Das Potential eines Tripletts, das und nicht steigt um ;
- Das Potential eines Tripletts, das und nicht nimmt um ; Es ist leicht in der Tabelle zu überprüfen, dass (Die Abnahme, wenn Sie nach rechts gehen, ist höchstens die Zunahme, wenn Sie nach unten gehen).
Insgesamt erhöht sich die Potentialsumme um die Summe von über alle Tripletts, die enthalten , und verringert sich um (höchstens) die Summe von über alle Tripletts, die enthalten . Durch die Wahl von ist die erste Summe schwach größer. Die Potentialsumme steigt also schwach an.
Die endgültige Potentialsumme beträgt also mindestens . Am Ende hat ein Triplett das Potenzial ( ), wenn es von Spieler 1 (2) gewonnen wird, sodass die endgültige Potenzialsumme der Punktzahl von Spieler 1 entspricht.