Nichtdeterminismus ist im Durchschnitt für Schaltkreise nutzlos?

Savický und Woods (Die Anzahl der Booleschen Funktionen, die durch Formeln einer bestimmten Größe berechnet werden) beweisen das folgende Ergebnis.

Satz [SW98]: Für jede Konstante haben fast alle Booleschen Funktionen mit einer Formelkomplexität von höchstens eine Schaltungskomplexität von mindestens .n k n k /$k>1$$n^k$$n^k/k$

Der Beweis besteht darin, eine Untergrenze für abzuleiten , die Anzahl der Booleschen Funktionen für Eingaben, die durch Formeln der Größe berechnet werden . Durch Vergleichen von mit der Anzahl von Schaltungen der Größe , die höchstens beträgt , kann realisiert werden, dass für großes , , und das Ergebnis folgt.n n k B ( n , n k ) C = n k / k C C E C + 4 n n C C E C + 4 n < < B ( n , n k$B(n,n^k)$$n$$n^k$$B(n,n^k)$$C = n^k/k$$C^{C}e^{C+4n}$$n$$C^{C}e^{C+4n} << B(n,n^k)$

Es scheint mir, dass das Ergebnis gestärkt werden könnte, indem festgestellt wird, dass die Anzahl nichtdeterministischer Schaltkreise der Größe mit nichtdeterministischen Eingaben nicht viel größer ist als die Anzahl deterministischer Schaltkreise der Größe (z B. für nicht zu groß) ). Daher denke ich, dass die folgende Folgerung gilt: m n k m m = $n^k$$m$$n^k$$m$$m=n$

Folgerung: Für jede Konstante haben fast alle Booleschen Funktionen mit einer Formelkomplexität von höchstens eine nichtdeterministische Schaltungskomplexität von mindestens (für nichtdeterministische Schaltungen mit nichtdeterministischen Eingaben).n k n k / k $k>1$$n^k$$n^k/k$$n$

(Es sei daran erinnert, dass eine nichtdeterministische Schaltung zusätzlich zu den gewöhnlichen Eingängen eine Menge von "nichtdeterministischen" Eingängen . Eine nichtdeterministische Schaltung akzeptiert den Eingang wenn es gibt, so dass die Schaltung an ausgibt ).y = ( y 1 , … , y m ) C x y 1 ( x , y $x = (x_1,\dots,x_n)$$y=(y_1,\dots,y_m)$$C$$x$$y$$1$$(x,y)$

Offensichtlich ist die Untergrenze für auch eine Untergrenze für die Anzahl der Booleschen Funktionen an Eingängen, die von Schaltungen der Größe berechnet werden , daher kann "Formelkomplexität höchstens " ersetzt werden durch "Schaltungskomplexität höchstens " in der Folge. Die Folgerung kann auch wie folgt angegeben werden: Bei Funktionen mit Polynomschaltungskomplexität kann das Umschalten auf nichtdeterministische Schaltungen die Komplexität im Durchschnitt nicht um mehr als einen konstanten Faktor verringern.n n k n k n $B(n,n^k)$$n$$n^k$$n^k$$n^k$

Fragen:

(1) Gibt es interessante Implikationen / Konsequenzen der obigen Folgerung?

(2) Gibt es andere Ergebnisse in die gleiche Richtung? Was ist zum Beispiel über den folgenden Satz bekannt? Bei Problemen in P kann der Wechsel von TMs zu NTMs die Komplexität im Durchschnitt nicht um mehr als einen konstanten Faktor verringern.

(Gil Kalai hat auch eine Frage, die etwas mit dieser zu tun hat .)

1) Erkenne, dass Nichtdeterminismus hier ein roter Hering ist. Sie könnten Wechselstromkreise oder Schaltkreise mit Gates verwendet haben, die das Halteproblem lösen. Es läuft auf ein einfaches Zählargument hinaus, dass Sie nach dem Korrigieren des Modells nur Funktionen mit einer k- Bit-Beschreibung berechnen können .$2^k$$k$

2) Für einheitliche Klassen wie P ist dies schwieriger, da es keine klare Definition der "Durchschnittsfunktion in P" gibt und die Zählargumente nicht mehr so ​​sauber funktionieren. Es stimmt mit dem aktuellen Wissen überein, dass alles in P in nicht deterministischer linearer Zeit gelöst werden kann.