W [1] -harte Probleme mit FPT-Zeitnäherungsalgorithmen

Ich suche nach Problemen, die in der FPT-Zeit schwer zu lösen sind, aber einen Approximationsalgorithmus haben. Das heißt, Probleme, die sind:

R1. W [1] -hart.

R2. Lassen Sie einen (vorzugsweise konstanten) Approximationsalgorithmus in der FPT-Zeit zu.

Das mir bekannte Problem besteht darin, die Anzahl der einfachen Pfade der Länge in einem Diagramm zu zählen. Es ist bekannt, dass es #W [1] -hart ist , lässt jedoch eine -Näherung in der FPT-Zeit zu (für jede Konstante ).( 1 + ϵ )$k$$(1+\epsilon)$$\epsilon$

Interessant wären auch Probleme, die R1 und R2 erfüllen, und auch:

R3. Es gibt so dass das Problem in der FPT-Zeit nicht angenähert werden kann (es sei denn, W [1] = FPT).( 1 + ϵ $\epsilon>0$ $(1+\epsilon)$

Welche anderen Probleme erfüllen R1 und R2 und möglicherweise R3?

In dem Problem des gerichteten ungeraden Zyklusübergangs ist die Eingabe ein Graph und die Aufgabe besteht darin, eine kleinste Menge von Eckpunkten zu finden, so dass keine (gerichteten) Zyklen ungerader Länge hat. In der parametrisierten Version erhalten wir auch eine ganze Zahl und fragen, ob eine Lösung mit einer Größe von höchstens existiert.S G - S k $G$$S$$G-S$$k$$k$

In dieser Arbeit beweisen wir, dass (R1) das Problem W -hart ist, (R2) dass es einen Faktor 2-Näherungsalgorithmus in der Zeit ) zulässt , und dass (R3 ') eine Hypothese annimmt, die etwas stärker als dass es ein so dass das Problem keinen Näherungsalgorithmus in der Zeit .2 k O ( 1 ) n O ( 1 ) F P T ≠ W [ 1 ] ϵ > 0 ( 1 + ϵ ) f ( k ) n O ( 1 $[1]$$2^{k^{O(1)}}n^{O(1)}$$FPT \neq W[1]$$\epsilon > 0$$(1+\epsilon)$$f(k)n^{O(1)}$

In [1] beweisen die Autoren, dass MaxSAT, das durch die Cliquenbreite (bzw. Nachbardiversität) des Inzidenzgraphen der CNF-Formel parametrisiert wurde, ein FPT-AS (Tractable Approximation Scheme mit festen Parametern) aufweist, aber es ist bekannt, dass MaxSAT durch parametrisiert wird Die Cliquenbreite (bzw. Nachbardiversität) ist W [1] -hart.

Der Satz stützt sich hauptsächlich auf ein Ergebnis von [2], das grob besagt, dass ein Graph mit begrenzter Cliquenbreite ohne große Cliquen auch eine begrenzte Baumbreite hat. Sie schneiden die Formel daher intelligent so, dass sie keine große Clique im Inzidenzgraphen haben und lösen die reduzierte Formel in FPT-Zeit unter Verwendung eines bekannten Algorithmus für MaxSAT auf begrenzter Baumbreite. Ich denke, dieser Ansatz kann auch bei anderen Problemen funktionieren.

[1] Holger Dell, Eun Jung Kim, Michael Lampis, Valia Mitsou und Tobias Mömke: Komplexität und Approximierbarkeit parametrisierter MAX-CSPs. IPEC 2015

[2] Gurski, F. & Wanke, E. (2000, Juni). Die Baumbreite von Cliquenbreiten-begrenzten Graphen ohne K n, n . Im internationalen Workshop zu graphentheoretischen Konzepten in der Informatik (S. 196-205). Springer, Berlin, Heidelberg.

In Defective Coloring erhalten wir einen Graphen und eine ganze Zahl und werden gebeten, die Eckpunkte von in die minimal mögliche Anzahl von Farbklassen zu unterteilen, so dass jede Klasse einen Graphen mit höchstens induziert . (Wenn dieses Problem nur Färben ).$G$$\Delta^*$$G$$\Delta^*$$\Delta^*=0$

In [1] haben wir bezüglich dieses durch Baumbreite parametrisierten Problems Folgendes gezeigt : (R1) Das Problem ist W [1] -hart; (R2) die minimale Anzahl von Farben kann in FPT-Zeit 2-approximiert werden; (R3) gibt es unter Standardannahmen keine -Näherung in der FPT-Zeit.$(3/2-\epsilon)$

[1] Rémy Belmonte, Michael Lampis und Valia Mitsou: Parametrisierte (ungefähre) fehlerhafte Färbung. STACS '18.

Das Problem des k-Schnitts besteht darin, eine minimale Anzahl von Kanten zu entfernen, um mindestens k Komponenten zu erzeugen. W [1] ist hart, wenn es durch k parametrisiert wird, lässt jedoch eine 2-Näherung für jedes k zu.

(Diese Frage wurde vor zwei Jahren gestellt, aber ich werde die Antwort für andere Personen veröffentlichen, die diese Frage möglicherweise sehen.)

Im Capacitated $k$ -median Problem sind wir eine Reihe gegeben $F$ von Einrichtungen und eine Einrichtung $f$ mit einer Kapazität $u_f \in \mathbb{Z}_{\geq0}$ , ein Satz $C$ von Clients, eine Metrik $d$ über $F\cup C$ und eine Obergrenze $k$ die Anzahl von Einrichtungen, die wir öffnen können. Eine Lösung für das Problem ist eine Menge $S \subseteq F$ von höchstens $k$ offenen Einrichtungen und eine Verbindungszuweisung $\phi:C\rightarrow S$ von Clients, um Einrichtungen so zu öffnen, dass$|\phi^{-1}(f)| \leq u_{f}$ für jede Anlage$f \in S$ . Wir wollen eine Lösung finden, die die Verbindungskosten$\sum_{c\in C} d(c,\phi(C))$ minimiert. Das Problem ist$W[2]$ -hart, wenn es durch$k$ parametrisiert wird. Indieser Arbeithaben die Autoren gezeigt, dass es für das Problem einen FPT-Zeitkonstanten-Faktor-Approximationsalgorithmus gibt. (In diesem Fall können Sie die GAP-ETH auf negative Ergebnisse überprüfen. Siehehttps://arxiv.org/pdf/1708.04218.pdf )