Könnte eine beschreibende Komplexitätsversion von Rices Theorem verwendet werden, um AC0 und PSPACE zu trennen?

In dieser Frage wurde erwähnt, dass es beschreibende Komplexitätsversionen des Satzes von Rice gibt. Ich habe einen Beweis für den folgenden Satz gefunden:

Bei einer Komplexitätsklasse C können nichttriviale Eigenschaften von Sprachen in C nicht in C berechnet werden

Ich hatte zuvor den gefundenen Beweis veröffentlicht, aber weil er so lang war und in den Kommentaren darauf hingewiesen wurde, dass dieses Papier bereits einen Beweis für diesen Satz enthält, habe ich ihn entfernt. (Wenn Sie aus irgendeinem Grund unbedingt meinen Beweis sehen möchten, lesen Sie bitte die vorherigen Überarbeitungen dieser Frage.)

Mein Interesse ist, ob dieser Satz verwendet werden könnte, um AC0 und PSPACE zu trennen. Hier ist das Argument:

Betrachten Sie die Eigenschaft P der Komplexitätsklasse AC0, die wie folgt definiert ist:

P : Die Eigenschaft, eine FO-Abfrage zu sein, die eine bestimmte feste Struktur akzeptiert, nämlich die Struktur, die aus einem Element, keinen Funktionen, keinen Konstanten und keinen Beziehungen besteht

Nach dem obigen Theorem ist P in AC0 eindeutig nicht entscheidbar; Es ist eine nicht triviale Eigenschaft von FO-Abfragen.

Eine kleine Untersuchung sollte jedoch zeigen, dass die Berechnung, ob eine FO-Abfrage eine so einfache Struktur akzeptiert oder nicht, genauso einfach wie TQBF entschieden werden kann. somit ist P in PSPACE entscheidbar.

Um Klarheit in diesem Punkt zu gewährleisten (dass P in PSPACE berechenbar ist): Beachten Sie, dass für die Eigenschaft, an der wir interessiert sind, die Struktur FO sein muss. Wir versuchen also festzustellen, ob eine FO-Abfrage, die auf einer Einzelelementstruktur ohne Beziehungen ausgeführt wird, akzeptiert wird. Da es keine zu behandelnden Beziehungen gibt, sollte klar sein, dass die Entscheidung über eine solche FO-Abfrage der Entscheidung über eine Instanz von TQBF entspricht. Da es keine Beziehungen gibt, besteht die einzige Herausforderung darin, zu bewerten, ob die quantifizierte Boolesche Formel wahr ist oder nicht. Dies ist im Grunde nur TQBF, daher ist P in PSPACE berechenbar.

Da P in PSPACE berechenbar ist, aber nicht in AC0, sollten wir schließen können, dass AC0! = PSPACE. Ist diese Argumentation richtig oder habe ich irgendwo einen Fehler gemacht? Ich bin besonders besorgt über den vorhergehenden Absatz; Ich werde versuchen, das Argument morgen zu klären und zu aktualisieren, nachdem ich die Gelegenheit habe, etwas mehr über die Darstellung nachzudenken.

Ich würde als Antwort ein Beispiel für eine FO-Abfrage akzeptieren, die bei der Berechnung der von mir beschriebenen beziehungsfreien Struktur mit einem Element als Instanz von TQBF eindeutig keinen Sinn ergibt. (Ich schlage vor, dass es keine gibt. Wenn Sie also zeigen können, dass es eine gibt, wäre dies ein Gegenbeispiel.)

Vielen Dank.

— Philip White
quelle

@Kaveh: Du solltest deinem Kommentar eine Antwort geben.

— Dai Le

@Kaveh: Danke für deinen Kommentar. Ich bin allerdings etwas verwirrt von dem, was Sie sagen. Auf welche Maschine in PSPACE für AC0-Sets haben Sie sich bezogen? Ich bezog mich auf die Eigenschaft P, die sich speziell auf FO-Abfragen über sehr einfache Strukturen bezieht. Ich schlage vor, dass die Bewertung, ob FO-Abfragen eine einfache Struktur akzeptieren, garantiert TQBF ist, also PSPACE. Ich sehe nicht, wo ein universeller Simulator für AC0 benötigt wird.

— Philip White

@ Kaveh: OK. Ich werde meinen versuchten Beweis der Vermutung in dieser Frage vorbereiten und als separate Frage veröffentlichen. Ich dachte, es sei richtig, aber ich liege oft falsch. (Wenn Sie meine Vermutung vorher widerlegen, werde ich mich natürlich nicht darum kümmern.)

— Philip White

Oh. Ich habe es gerade als Frage gepostet. Soll ich die neue Frage löschen und als Antwort posten?

— Philip White

(Ich habe es gelöscht und zu dieser Frage hinzugefügt.)

— Philip White

Das Entscheiden der nichttrivialen Eigenschaften von (einer Indizierungs-) Menge in einer Komplexitätsklasse ist ebenso schwierig wie das Berechnen des Graphen der universellen Funktion für die Klasse. Intuitiv bedeutet dies, dass die einzige Möglichkeit, eine nicht triviale Eigenschaft zu bestimmen, darin besteht, die Maschinen zu simulieren und auf Antworten zu warten. Es scheint mir, dass die Idee, eine solche Eigenschaft zu verwenden, nur das liefert, was unter den Hierarchiesätzen bekannt ist. (Siehe Satz 4.2 von D. Kozen, " Indizierung subrekursiver Klassen ", 1978 für Einzelheiten und die genaue Aussage des Satzes.)

$grU_{AC^0}$ $AC^0$ $PSpace$ $AC^0 \subseteq L$ $L$ $PSpace$ $AC^0$ $AC^0$ $FO$ $PSpace$ $PSpace$ $AC^0$ $AC^0$ $PSapce$

$AC^0 \subseteq L \subset PSpace$

— Kaveh
quelle

Interessant, danke. Sie sagen also: 1) Mein Argument war richtig, aber 2) es gab einen einfacheren Weg. :) Ich denke, ich muss den Satz der Raumhierarchie auffrischen.

— Philip White

F O

$FO$

Ok, großartig. Ich habe gerade die Definition von FO überprüft. Ich wusste, dass es das Gleichheitssymbol enthielt; Deshalb habe ich verlangt, dass die Struktur nur ein Element ist. Auf diese Weise hat jede Aussage über die Gleichheit zweier Variablen keinen Einfluss auf die Wahrheit der Abfrage.

— Philip White

Ein zusätzlicher Kommentar ... Sie haben einen wichtigen Punkt zu den nicht logischen Symbolen gemacht. Da es keine Beziehungen gibt, ist das Gleichheitssymbol tatsächlich wesentlich. Insbesondere müssen die sehr booleschen Literale ausgedrückt werden, die zum Ausdrücken von TQBF erforderlich sind.

— Philip White

F O

$FO$