Ist es entscheidend, zwei SO-Horn-Abfragen auf Äquivalenz zu testen?

Aus dem Satz von Rice folgt, dass Sie nicht bestimmen können, ob zwei Turing-Maschinen dieselbe Sprache entscheiden oder nicht. Meine Frage lautet: Gilt dies auch für beschreibende Komplexitätseinstellungen, insbesondere wenn zwei SO-Horn-Abfragen getestet werden sollen, um festzustellen, ob sie dieselbe Sprache beschreiben? Mir ist keine beschreibende Komplexitätsversion von Rices Theorem bekannt, und ich konnte mir vorstellen, dass es möglicherweise nicht allzu schwierig ist, zwei Formeln zweiter Ordnung auf Äquivalenz zu testen.

Beachten Sie zunächst, dass die Gleichheit von zwei TMs schwieriger ist als das Stoppproblem (es ist -vollendet), dh Sie können es nicht einmal mit einem Orakel für das Stoppproblem berechnen. Es ist also nicht einmal ce (dh Σ 0 1 , akare). Der Satz von Rice impliziert, dass die Menge nicht ce ist, sondern nicht das stärkere Ergebnis.$\Pi^0_2$$\Sigma^0_1$

Es gibt eine komplexitätstheoretische Version des Satzes von Rice (von D. Kozen), aber das ergibt ein schwächeres Ergebnis, das erwartet wird. Wir können nicht triviale Eigenschaften überprüfen, wenn wir wissen, dass die Maschine anhält, z. B. können wir überprüfen, ob die Maschine akzeptiert wenn auf einem leeren Band ausgeführt. Intuitiv sagt das Ergebnis (irgendwie), dass die einzige Möglichkeit, nicht triviale Eigenschaften der Sprache von TMs zu überprüfen, darin besteht, die Maschinen zu simulieren (wenn ich mich richtig erinnere).

Die beschreibende Komplexität ändert nichts an den Dingen. Ich denke, Sie können sie ignorieren und einfach durch die TMs mit Polynomuhren ersetzen (sie können in eine Charakterisierung der beschreibenden Komplexität umgewandelt werden, und die Charakterisierung der beschreibenden Komplexität kann mithilfe von TMs in eine Charakterisierung umgewandelt werden).

$\Pi_1$