Die Integritätslücke ist ein nützlicher Indikator dafür, wie gut eine IP angenähert werden kann. Es ist vielleicht besser, informell und intuitiv darüber nachzudenken. Eine hohe Integritätslücke impliziert, dass bestimmte Methoden nicht funktionieren. Bestimmte primäre / duale Methoden hängen beispielsweise von einer kleinen Integritätslücke ab. Für die Standard-Ur-Vertex-Cover-LP fordert die Doppel-LP eine maximale Übereinstimmung an. In diesem Fall können wir Folgendes tun:
- finde eine optimale fraktionale Lösung für die doppelte LP (maximale fraktionale Übereinstimmung)y
- multipliziere die Lösung mit dem Faktor 2 (verdopple alle Kantengewichte)y
- wandeln dies eine machbare integral für das Erst - LP (jede Kante Hälfte seines Gewichtes vom gibt Vektor zu jedem seiner Endpunkte in der Vektor, dann wird jeder ist ersetzt durch ).2 y x x i min ( ⌊ x i ⌋ , 1 )X2 yXXichmin ( ⌊ xich⌋ , 1 )
In diesem Fall funktioniert diese einfache Strategie und wir erhalten eine praktikable integrale Lösung für die ursprüngliche LP, deren Gewicht nicht mehr als das Zweifache des Gewichts einer praktikablen Lösung für die doppelte LP beträgt. Da das Gewicht einer möglichen Lösung für die duale LP für OPT eine Untergrenze ist, handelt es sich um einen 2-Approximationsalgorithmus.
Woher kommt nun die Integritätslücke? Der IG ist in diesem Fall 2, aber das allein bedeutet nicht, dass der Algorithmus funktioniert. Es deutet eher darauf hin, dass es funktionieren könnte. Und wenn die IG mehr als 2 wäre, würde dies garantieren, dass die einfache Strategie nicht immer funktioniert. Zumindest müssten wir die duale Lösung durch die IG multiplizieren. Die Integritätslücke sagt uns manchmal, was nicht funktioniert. Die Integritätslücke kann auch angeben, auf welche Art von Näherungsfaktor wir hoffen können. Eine kleine Integritätslücke lässt vermuten, dass die Untersuchung von Rundungsstrategien usw. ein lohnender Ansatz sein könnte.
Ein interessanteres Beispiel ist das Problem der Schlagmenge und die leistungsstarke Methode zur Approximation des Problems mit -netzen (Brönnimann & Goodrich, 1995) . Viele Probleme können als Instanzen von Hitting Set formuliert werden, und eine Strategie, die für viele Probleme erfolgreich war, besteht darin, dies zu tun, dann einfach einen guten Netzfinder zu finden, dh einen Algorithmus, um kleine Netze zu konstruieren und alles durchzudrehen der B & G Meta-Algorithmus. Daher versuchen Leute (ich eingeschlossen), Netzsucher für eingeschränkte Instanzen von Hitting Set zu finden, die für jedes ein -Netz der Größe erstellen können , in dem die Funktionε ε ε f ( 1 / ε ) f f ( 1 / ε ) = O ( 1 / ε ) O ( 1 )εεεεf( 1 / ε )fsollte so klein wie möglich sein. Mit ist ein typisches Ziel; dies würde eine -Näherung ergeben.f( 1 / ε ) = O ( 1 / ε )O (1)
Wie sich herausstellt, ist die bestmögliche Funktion durch die Integritätslücke einer bestimmten LP für Hitting Set begrenzt (Even, Rawitz, Shahar, 2005) . Insbesondere erfüllen die optimalen Integral- und . Für uneingeschränkte Fälle von Hitting Set ist die Integritätslücke , aber wenn ein anderes Problem als Hitting Set formuliert wird, kann die IG niedriger sein. In diesem Beispiel zeigen die Autoren, wie man -netze der GrößefO P Tich≤ f( O P Tf)Θ ( log( m ) )εO ((1 / & epsi;)logLog( 1 / ε ) )für die eingeschränkten Instanzen von Hitting Set, die dem Problem des Treffens von achsparallelen Boxen entsprechen. Auf diese Weise verbessern sie den bekanntesten Näherungsfaktor für dieses Problem. Es ist ein offenes Problem, ob dies verbessert werden kann oder nicht. Wenn für diese eingeschränkten Hitting Set-Instanzen die IG für die Hitting Set-LP , ist es unmöglich, einen Netzfinder zu entwerfen, der -netze der Größe garantiert. , da dies die Existenz eines Algorithmus implizieren würde, der integrale der Größe garantiert , aber seitΘ ( logLogm )εo ( ( 1 / ε ) logLog( 1 / ε ) ) O P T f ≤mo ( O P TfLogLogO P Tf)O P Tf≤ mDies würde eine geringere Integritätslücke bedeuten. Wenn also die Integritätslücke groß ist, könnte der Nachweis dafür verhindern, dass die Leute ihre Zeit damit verschwenden, nach guten Netzsuchern zu suchen.