Wie kann ich zufällig Bäume mit begrenzter Höhe überspannen?

Für ein Projekt, an dem ich arbeite, sollte ich zufällige Spannbäume mit begrenzter Höhe generieren.

Grundsätzlich mache ich Folgendes: 1) Generiere einen Spanning Tree 2) Überprüfe die Machbarkeit, wenn machbar, behalte sie.

1) Ausgehend von einem minimalen Spannbaum (Prims oder Kruskals) füge ich eine nicht vorhandene Kante hinzu und dies erzeugt einen Zyklus. Ich erkenne diesen Zyklus und entferne eine der Kanten dieses Zyklus, die mir einen neuen Spannbaum gibt, und fahre fort dieser Spannbaum durch Hinzufügen einer neuen Kante ...

2) Angenommen, es gibt einen speziellen Scheitelpunkt . Für jeden Scheitelpunkt v sollte die Länge des Pfades von v nach V c e n t e r kleiner als δ sein , wobei δ ein gegebener Parameter ist.$v_{center}$$v$$v$$V_{center}$$\delta$$\delta$

Gibt es einen besseren (klugen) Weg, dies zu tun?

PS Ich habe vergessen, die andere Einschränkung anzugeben (mein Fehler): Der Grad der Eckpunkte sollte ebenfalls begrenzt sein.

Ich habe vor ein paar Jahren an Bäumen mit begrenzter Tiefe gearbeitet, sie sind wirklich interessant. Einige meiner Kollegen haben Algorithmen für die Nachrichtenübermittlung entwickelt, die hervorragende Arbeit geleistet haben, aber ich kann keinen ihrer verfügbaren Codes finden. Wir haben es hier in einem physikalischen Stil geschrieben: http://iopscience.iop.org/1742-5468/2009/12/P12010/ . Sie haben mir gesagt, dass es auch mit Gradgrenzen funktioniert, obwohl das es nicht in die Zeitung geschafft hat.

Der von Ihnen vorgeschlagene Ansatz, den ich als Markov-Kette Monte Carlo bezeichnen würde, ist häufig ein Konkurrent des Ansatzes zur Nachrichtenübermittlung. Wenn Sie daran interessiert sind, aus dem Satz von Spannbäumen mit begrenztem Grad und begrenzter Tiefe eines bestimmten Diagramms ungefähr gleichmäßig zufällig zu wählen, empfehle ich, Ihren Ansatz zu ändern, um "weiche" Grenzen zu verwenden. Das heißt, anstatt einen Kantentausch abzulehnen, bei dem der Baum die Tiefengrenze verletzt, akzeptieren Sie ihn, jedoch mit geringerer Wahrscheinlichkeit als ein Tausch, der die Grenze nicht verletzt. Wenn Sie einen Parameter haben, der steuert, wie viel niedriger diese Wahrscheinlichkeit ist, können Sie die Einschränkung, die Konfigurationen verletzt, immer weniger wahrscheinlich machen, bis Sie zu einer realisierbaren Lösung gelangen, die nahezu gleichmäßig zufällig ist.

Die große Frage ist, wie lange Sie brauchen, um die Kette laufen zu lassen. Da ein Spanning Tree mit einem Grad von höchstens 2 ein Hamilton-Pfad ist, sollten Sie erwarten, dass jede generische Grenze in der Größe des Diagramms exponentiell ist. Aber vielleicht sind die Grafiken, an denen Sie interessiert sind, in irgendeiner Weise etwas Besonderes.

Wenn Ihr Problem darin besteht, einen Spanning Tree aus einer Menge S gleichmäßig abzutasten$S$$S$$h$$h$$h$

Ich bin mir jedoch nicht sicher, ob der von Ihnen beschriebene Algorithmus einen zufälligen Spanning Tree generiert. Ich würde empfehlen, stattdessen Standardalgorithmen zu betrachten. Es gibt zwei Algorithmen: Wilsons Algorithmus und Aldous-Broders Algorithmus. Sie können einen Blick hier . Es gibt einen neueren (Näherungs-) Algorithmus, der jedoch ziemlich kompliziert ist.

Es kann auch eine Möglichkeit geben, diesen Spanning Tree mit begrenzter Höhe direkt zu generieren. Aber ich habe noch nie von solchen Algorithmen gehört.

Verwenden Sie die Breitensuche! Führen Sie aus jedem Scheitelpunkt im Diagramm ein BFS durch und wählen Sie den resultierenden Baum mit der kleinsten Höhe aus. Ein BFS findet immer den Pfad von der Wurzel zu jedem anderen Scheitelpunkt mit den wenigsten Sprüngen.