NP-intermediäre Probleme mit effizienten Quantenlösungen

Peter Shor hat gezeigt, dass zwei der wichtigsten NP-Intermediate-Probleme, Factoring und das diskrete Log-Problem, im BQP liegen. Im Gegensatz dazu liefert der bekannteste Quantenalgorithmus für SAT (Grovers Suche) nur eine quadratische Verbesserung gegenüber dem klassischen Algorithmus, was darauf hindeutet, dass NP-vollständige Probleme auf Quantencomputern immer noch nicht gelöst werden können. Wie Arora und Barak hervorheben, gibt es auch bei BQP ein Problem, von dem nicht bekannt ist, dass es sich um NP handelt, was zu der Vermutung führt, dass die beiden Klassen unvergleichbar sind.

Gibt es irgendwelche Kenntnisse / Vermutungen darüber, warum diese NP-intermediären Probleme in BQP auftreten, aber warum SAT (soweit wir wissen) nicht? Folgen andere NP-intermediäre Probleme diesem Trend? Insbesondere ist Graph-Isomorphismus in BQP? (Dieser google nicht gut).

Es ist nicht bekannt, dass der Graphisomorphismus in BQP vorliegt. Es wurde viel Arbeit darauf verwendet, es einzufügen. Eine sehr interessante Beobachtung ist, dass der Graphisomorphismus gelöst werden könnte, wenn Quantencomputer das nicht-abelsche Problem der verborgenen Untergruppen für die symmetrische Gruppe lösen könnten (Faktorisierung und diskretes Log werden durch gelöst) Verwenden des Problems der versteckten abelschen Untergruppen, das wiederum durch Anwenden der Quanten-Fourier-Transformation auf abelsche Gruppen gelöst wird.

Eine Möglichkeit, den Isomorphismus von Graphen zu lösen, war die Anwendung der Quanten-Fourier-Transformation für nicht-abelsche Gruppen. Es gibt Algorithmen für die Quanten-Fourier-Transformation für viele nicht-abelsche Gruppen, einschließlich der symmetrischen Gruppe. Leider scheint es nicht möglich zu sein, die Quanten-Fourier-Transformation für die symmetrische Gruppe zu verwenden, um den Graphisomorphismus zu lösen. Es wurden einige Artikel darüber geschrieben, die zeigen, dass es nicht funktioniert, wenn verschiedene Annahmen über die Struktur des Algorithmus getroffen werden. Diese Papiere sind wahrscheinlich das, was Sie finden, wenn Sie googeln.

Die folkloristische Antwort lautet, dass Factoring so "strukturiert" ist, dass es keine allgemeinen NP-vollständigen Probleme gibt, und deshalb konnten wir nur Quantenvorteile für Zwischenprobleme finden.

Möglicherweise ist es eine einfachere Version Ihrer Frage, sich nicht mit der Komplexität der Berechnungen, sondern mit der Komplexität der Abfragen von Booleschen Funktionen zu befassen. Hier können wir einige Dinge nachweislich sagen, wie zum Beispiel die Tatsache, dass Superpolynom-Beschleunigungen nur für Teilfunktionen (bewiesen in http://arxiv.org/abs/quant-ph/9802049 ) und nicht für Funktionen möglich sind, die in ihren Eingaben symmetrisch sind und Ausgänge (geprüft in http://arxiv.org/abs/0911.0996 ).

Diese Ergebnisse werfen kein direktes Licht auf die Frage zwischen BQP und NP, aber ich denke, sie sind sinnvolle Schritte, um festzustellen, wo es einen Quantenvorteil gibt.