Ungefähres Abtasten von konvexen Polyedern mit Quantencomputern

Quantencomputer eignen sich sehr gut für Sampling-Verteilungen, von denen wir nicht wissen, wie man mit klassischen Computern Samples erstellt. Wenn zum Beispiel f eine Boolesche Funktion (von bis ) ist, die in Polynomzeit berechnet werden kann, können wir mit Quantencomputern effizient nach der von der beschriebenen Verteilung abtasten Fourier-Expansion von f. (Wir wissen nicht, wie man es mit klassischen Computern macht.)$\{-1,1\}^n$${-1,1}$

Können wir Quantencomputer verwenden, um einen zufälligen Punkt in einem Polyeder abzutasten oder näherungsweise abzutasten, der durch ein System von n Ungleichungen in d Variablen beschrieben wird?

Der Übergang von den Ungleichungen zu den Punkten ähnelt für mich einer "Transformation". Darüber hinaus würde ich mich freuen, einen Quantenalgorithmus zu sehen, auch wenn Sie die Verteilung ändern, z. B. das Produkt der Gaußschen Verteilung betrachten, das durch die Hyperebenen des Polyeders beschrieben wird, oder einige andere Dinge.

Ein paar Anmerkungen: Dyer, Frieze und Kannan haben einen berühmten klassischen Polynom-Zeit-Algorithmus gefunden, um das Volumen eines Polyeders ungefähr abzutasten und ungefähr zu berechnen. Der Algorithmus basiert auf zufälligen Schritten und schnellem Mischen. Wir wollen also einen anderen Quantenalgorithmus für denselben Zweck finden. (Okay, wir können hoffen, dass ein Quantenalgorithmus auch zu Dingen in diesem Kontext führt, von denen wir nicht wissen, dass sie klassisch sind. Aber zu Beginn wollen wir nur einen anderen Algorithmus, dies muss möglich sein.)

Zweitens bestehen wir nicht einmal darauf, die gleichmäßige Verteilung näherungsweise zu untersuchen. Gerne probieren wir eine andere schöne Distribution aus, die von unserem Polyeder grob unterstützt wird. Es gibt ein Argument von Santosh Vampala (und auch von mir in einem anderen Zusammenhang), das von der Abtastung zur Optimierung führt: Wenn Sie die f (x) -Abtastung optimieren möchten, um einen Punkt y zu finden, an dem f (x) typisch ist. Addiere die Bedingung {f (x)> = f (y)} und wiederhole.

Wie der Beitrag bestätigt, ist die Existenz eines klassischen Polynom-Zeit-Algorithmus zur Schätzung des Volumens eines konvexen Polytops ein entscheidender Faktor. Ein Quantenalgorithmus ist wahrscheinlich weniger interessant, wenn er nicht mit klassischen Algorithmen konkurriert. Denn ohne dieses Kriterium könnte jeder klassische Algorithmus stattdessen einfach als Quantenalgorithmus bezeichnet werden.

Das heißt, es gibt immer noch Raum für eine polynomielle Beschleunigung, und der wichtigste bekannte Gesichtspunkt für diese Art der Beschleunigung ist ein Quantensprung, insbesondere wenn man bedenkt, dass die klassische Beschleunigung in diesem Fall auf einem guten Zufallsspaziergang beruht. (In der Tat kann jeder Quantenalgorithmus als Quantenwanderung angesehen werden, aber für einige Algorithmen ist dies nicht unbedingt aufschlussreich.) Verschiedene Veröffentlichungen in der QC-Literatur haben darauf hingewiesen, dass die Algorithmen zur Schätzung des Volumens eines konvexen Polytops Zufallswandlungen verwenden dass es eine Beschleunigung von einem Quantensprung geben könnte. Es scheint also, dass Forscher diesen Vorschlag kennen, aber niemand versucht hat, herauszufinden, welche Polynombeschleunigung Sie für dieses Problem erhalten könnten. Sie könnten nichts bekommen, wenn der beste klassische Algorithmus eine Art Spoiler hat,

Hier ist eine Sammlung von Artikeln, die alle nebenbei die Grundidee erwähnen; Auch hier scheint Google Scholar darauf hinzudeuten, dass niemand weiter gegangen ist.

1. arXiv: quant-ph / 0104137 - Quantensprünge auf dem Hypercube
2. arXiv: quant-ph / 0205083 - Quantum Random Walks treffen exponentiell schneller
3. arXiv: quant-ph / 0301182 - Dekohärenz in diskreten Quantenläufen
4. arXiv: quant-ph / 0304204 - Steuerung von diskreten Quantenläufen: Münzen und Anfangszustände
5. arXiv: quant-ph / 0411065 - Quantensprung auf einer Linie mit zwei verschränkten Teilchen
6. arXiv: quant-ph / 0504042 - Verschränkung in geprägten Quantenläufen auf regulären Graphen
7. arXiv: quant-ph / 0609204 - Quantenbeschleunigung klassischer Mischprozesse
8. arXiv: 0804.4259 - Beschleunigung durch Quantenabtastung
9. Ein Random-Walk-Ansatz für Quantenalgorithmen
10. Diskreter Quantenlauf zur Lösung nichtlinearer Gleichungen über endlichen Feldern

Die andere Seite der klassischen Algorithmen zur Schätzung des Volumens eines konvexen Polytops ist die lineare Programmierung. Ich weiß nicht, dass es Fortschritte gab, eine Quantenbeschleunigung dafür zu finden. Es scheint schwierig zu sein, eine Stufe der linearen Programmierung zu vermeiden, um das konvexe Polytop für die Abtastung in eine günstige Position zu bringen.