Fügen Sie eine Übereinstimmung zu einem Hamilton-Pfad hinzu, um den maximalen Abstand zwischen bestimmten Scheitelpunktpaaren zu verringern

Was ist die Komplexität des folgenden Problems?

Eingabe :

• $H$ einHamilton-Pfadin$K_n$
• eine Teilmenge von Knotenpaaren$R \subseteq [n]^2$
• eine positive ganze Zahl $k$

Abfrage : Gibt es einen passenden derart , daß für jeden ( v , u ) ∈ R , d G ( v , u ) ≤ k ? (wobei G = ( [ n ] , M ∪ H ) )$M$$(v,u) \in R$$d_G(v,u) \leq k$
$G = ([n], M\cup H)$

Ich habe mit einem Freund über dieses Problem gesprochen. Mein Freund glaubt, das Problem liege in der Polynomzeit. Ich denke es ist NP-komplett.

Diese Antwort ist falsch .

Dein Freund hat recht. Ihr Problem (wie von Sasho interpretiert) schränkt die Kardinalität des übereinstimmenden . Wählen Sie daher C , um eine Übereinstimmung zwischen den Paaren in R zu erhalten . Dann ist für jede positive ganze Zahl k der Abstand zwischen jedem Paar in R kleiner als k .$C$$C$$R$$k$$R$$k$

Ihr Problem wird interessant, wenn Sie Pfade zwingen, Kanten sowohl aus dem übereinstimmenden als auch aus dem Pfad P zu enthalten .$C$$P$

UPDATE: Die Antwort unten ist nicht korrekt, weil ich fälschlicherweise angenommen habe, dass der Hamilton-Pfad in einem beliebigen Graphen liegt, nicht in . Ich lasse es unberührt, vielleicht kann ich es reparieren oder es gibt einige Hinweise für eine andere Antwort.$K_n$

Ich denke es ist NP-komplett. Dies ist eine sehr informelle / schnelle Reduzierungsidee von 3SAT

Für jede Variable füge ich ein "variables Gadget" hinzu mit:$x_i$

• drei Knoten $X_i, +X_i, -X_i$
• zwei variable Kanten und ( X i , - X i$(X_i,+X_i)$$(X_i,-X_i)$

Fügen Sie einen Quellknoten und verbinden Sie ihn mit allen Variablen X i .$S$$X_i$

Fügen Sie für jede Klausel einen Knoten C j hinzu und verbinden Sie ihn mit den entsprechenden Variablen + X i oder - X i , die die Klausel bilden.$C_j$$C_j$$+X_i$$-X_i$

$(+x_1 \lor -x_2 \lor -x_3) \land (-x_2 \lor x_3 \lor x_4)$

$R$$(S, C_1), (S,C_2), ...$

$P$$(X_i, +X_i)$$(X_i, -X_i)$ (in the picture above the blue edges represent the edges that we include in $P$).

At this point, the initial formula is satisfiable if and only if the shortest path from $S$ to each clause node $C_j$ is not greater than three. Indeed to reach a clause from $S$ in three steps we must traverse at least one variable $X_i$: $S \to X_i \to \pm X_i \to C_j$. So we must traverse one of the two edges: $X_i \to +X_i$ or $X_i \to -X_i)$ and include it into $C$ (because by construction it's not part of $P$). But both cannot be included, because they share a vertex.

But we're not sure that we can build a simple path $P$ that includes all the blue edges because some nodes have more than one incident blue edge.

To fix this we replace each node with multiple incident blue edges, with a tree that contains only pairs of incident blue edges that will be included in $P$ and edges that separate them and that should be included in $C$ to reach the clause nodes:

The original graph becomes:

Each tree should have the same depth (we just can pick the max of the depth required for all the clauses/variables/S); and we must increase the value of $K$ accordingly (the number of steps to reach $C_j$ from $S$).

We can include in $C$ all the needed (not blue) edges required to reach the clause nodes because they share no vertex.

Furthermore with this construction we are able to build a simple path $P$ that traverse each vertex and each blue edge, just add extra nodes to avoid shortcuts between the clauses or variables: