Beobachtet, dass die Frage nur dann nicht trivial ist, wenn k, K beide größer als 1 sind; für den Fall k = 1 oder K = 1 ist es nur der normale Ramsey-Satz, der für alle n gilt. Außerdem müssen wir uns nur mit dem Fall befassen, dass > K, sonst ist der Satz wahr, da es höchstens einen ( n(nk) Teilmenge von B ', aufgebaut aus einer n-Teilmenge A' von A.(nk)
Zunächst beweisen wir, dass der Satz falsch ist für alle k> 1, K> 1 und jedes n erfüllt > K>(n-1(nk).(n−1k)
Um ein Gegenbeispiel zu konstruieren, müssen wir für jedes große N und A = [N] eine Farbfunktion f so konstruieren, dass für alle n-Teilmengen A 'von A, wenn B' aus allen k-Teilmengen von A 'besteht haben einige der K-Teilmengen von B 'unterschiedliche Farben. Hier haben wir die folgende Beobachtung:
Beobachtung 1. Unter den Bedingungen, dass k, K> 1 und > K>(n-1(nk)ist jede K-Untermenge von B eine Untermenge von höchstens einer B ', die aus einer n-Untermenge A' von A aufgebaut ist.(n−1k)
Die Beobachtung kann leicht durch Darstellung als Hypergraphen erscheinen. Sei A Knoten des Graphen G, eine n-Teilmenge A 'von A ist die Knotenmenge eines vollständigen n-Teilgraphen in G. B' ist die Menge von k-Hyperedges im vollständigen Teilgraphen (ein 2-Hyperedge ist a Normalkante) und K-Teilmengen von B 'sind alle Kombinationen (es gibt insgesamt, wobei | B '| = ( n(|B′|K) ) von K k -Hyperedgen. Die Beobachtung besagt: Jedes K-Tupel von Hyperedgen in G gehört höchstens zu einem vollständigen n-Subgraphen, was für ( n(nk) > K>(n-1(nk), da zwei beliebige vollständige n-Teilgraphen höchstens n-1 Knoten mit höchstens(n-1)kreuzen(n−1k)Hyperedges.(n−1k)
Dann können wir innerhalb der K-Teilmengen C 'eines bestimmten B', das aus einer n-Teilmenge A 'besteht, verschiedene Farben zuweisen, da jedes Element in C' nicht als eine andere K-Teilmenge von B '' auftritt, die aus einer n-Teilmenge besteht EIN''. Für jede K-Teilmenge von B, die nicht aus einer n-Teilmenge von A besteht, weisen wir ihr eine zufällige Farbe zu. Nun haben wir eine Färbefunktion f mit der Eigenschaft, dass kein durch n-Teilmenge von A konstruiertes B 'einfarbig ist, das heißt, einige der K-Teilmengen von B' haben unterschiedliche Farben.
Als nächstes zeigen wir, dass der Satz auch für alle k> 1, K> 1 und jedes n falsch ist > K. Hier kann der einzige Unterschied n so groß gewählt werden, dass K>(n-1(nk)ist nicht wahr. Aber durch eine andere einfache Beobachtung:(n−1k)
Beobachtung 2. Wenn ein B ', das aus einer n-Teilmenge A' von A aufgebaut ist, einfarbig ist, dann ist jedes B '', das aus einer n'-Teilmenge A '' von A 'für n' <n aufgebaut ist, auch einfarbig.
Wir können also annehmen, dass der Satz für das größere n gilt, die zweite Beobachtung anwenden und einen Widerspruch zum ersten Fall schließen, indem wir n 'satisfies > K>( n ' -1(n′k); ein solches n 'muss durch die Tatsache existieren, dass(n(n′−1k)> K und K>(k(nk), n 'muss zwischen n und k + 1 liegen.(kk)