Ist die Kolmogorov-Komplexität der Wahrheitstabellen des Halteproblems asymptotisch bekannt?

Es sei $HALT_n$ die Zeichenkette der Länge $2^n$ , die der Wahrheitstabelle des Halteproblems für Eingaben der Länge $n$ .

Wenn die Sequenz der Kolmogorov Komplexitäten $K(HALT_n)$ waren $O(1)$ , dann einer der Ratschläge Saiten unendlich oft verwendet werden würde, und eine TM mit dieser Zeichenfolge hartcodierte der Lage wäre , zu lösen $HALT$ einheitlich unendlich oft, was wir wissen, ist nicht der Fall.

Eine genauere Betrachtung des Diagonalisierungsarguments zeigt tatsächlich, dass $K(HALT_n)$ mindestens $n - \omega (1)$ ist. Zusammen mit der trivialen Obergrenze haben wir also:

$n - \omega(1) \leq K(HALT_n) \leq 2^n + O(1)$

Diese Untergrenze wird im Intro einer kürzlich erschienenen Veröffentlichung von Fortnow und Santhanam "Neue ungleichmäßige Untergrenzen für einheitliche Komplexitätsklassen" erwähnt und der Folklore zugeschrieben. Wenn die Hinweiszeichenfolge kürzer als die Eingabelänge ist, können wir grundsätzlich immer noch gegen Maschinen mit höchstens dieser Anzahl von Ratschlägen diagonalisieren.

(Bearbeiten: Eigentlich haben sie es in einer früheren Version des Papiers der Folklore zugeschrieben, ich denke jetzt sagen sie nur, es ist eine Adaption von Hartmanis und Stearns.)

$t$

$2^n$$2^{\epsilon n}$$2^{\epsilon n}$$2^{\epsilon n}$$P = BPP$

$K(HALT_n)$

$K(HALT_n)$

Hinweis: Es gibt einen weiteren schönen Beitrag über die Schaltungskomplexität des Stoppproblems, der durch ein von Emil Jerabek hier skizziertes Argument als nahezu maximal angesehen werden kann: /mathpro/115275/non-uniform-complexity -des-Halt-Problems

$E^{NP^{NP}}$$HALT$

$K(HALT_n)$$HALT$$HALT$$HALT_{2^n}$$2^n$

$K(HALT_n)$

Oder gibt es eine bessere Obergrenze, die ich verpasst habe?

$DTIME$$K(HALT_n)$Es ist überhaupt keine Zeit gebunden, also haben wir vielleicht "die gleiche" Zeit wie der Gegner und sollten nicht erwarten, dass sie maximal inkompressibel ist. Trotzdem funktioniert die Diagonalisierung auch in der uneingeschränkten Umgebung - es scheint, dass es für jede Maschine eine Maschine gibt, die das Gleiche wie diese Maschine tut und dann etwas anderes tut, sodass es immer jemanden gibt, der mehr Zeit hat als Sie. Vielleicht hat der Gegner doch immer mehr Zeit als wir ...

Hmm, es stellt sich heraus, dass es tatsächlich eine passende Obergrenze gibt, die nicht zu schwer ist:

$HALT_n$$n$$2^{n}$$n$

Ich denke, das Argument der Folklore ist hier eng. Wir haben

$n - \omega(1) \leq K(HALT_n) \leq n + O(1)$

$K(HALT_n)$$O(1)$

$n$$n$