Reverse Graph Spectra Problem?

Normalerweise erstellt man einen Graphen und stellt dann Fragen zur Eigenwertzerlegung der Adjazenzmatrix (oder eines nahen Verwandten wie dem Laplace ) (auch Spektren eines Graphen genannt ).

Aber was ist mit dem umgekehrten Problem? Gegeben Eigenwerte kann man (effizient) ein Diagramm finden , das diese Spektren hat?$n$

Ich vermute, dass dies im Allgemeinen schwierig ist (und möglicherweise mit GI vergleichbar ist), aber was ist, wenn Sie einige der Bedingungen ein wenig entspannen? Was ist, wenn Sie Bedingungen stellen, dass es keine Vielzahl von Eigenwerten gibt? Wie wäre es damit, Diagramme zuzulassen, die "nahe" Spektren durch eine Distanzmetrik aufweisen?

Alle Referenzen oder Ideen wären willkommen.

EDIT :

Wie Suresh betont, wird dieses Problem ziemlich trivial, wenn Sie ungerichtete gewichtete Diagramme mit Selbstschleifen zulassen. Ich hatte gehofft, Antworten auf ungerichtete, ungewichtete, einfache Diagramme zu erhalten, aber ich würde auch mit einfachen, ungewichteten, gerichteten Diagrammen zufrieden sein.

Cvetcovic et al. In Abschnitt 3.3 von "Neueste Ergebnisse in der Theorie der Graphenspektren" gehen Algorithmen zur Konstruktion von Graphen mit gegebenem Spektrum in einigen speziellen Fällen durch

Selbst die Frage, ob ein Graph mit einem bestimmten Spektrum existiert, ist eine schwierige Frage. Dies zeigt sich in dem offenen Problem, zu bestimmen, ob ein Graph von Umfang 5, Durchmesser 2 und Ordnung 3250 existiert, dessen Spektrum (falls vorhanden) bekannt ist.

Ein weiteres Hindernis bei der Definition Ihrer Frage ist, dass es sich um isospektrale (gleiche Eigenwerte), aber nicht-isomorphe Graphen handelt. Welchen Graphen möchten Sie also in einem solchen Fall mit einer Liste von Eigenwerten? Vielleicht möchten Sie nur, dass ein Algorithmus ein zufälliges Element der Menge solcher nicht-isomorphen Graphen zurückgibt?