In diesem Skript von Ola Svensson: http://theory.epfl.ch/osven/courses/Approx13/Notes/lecture4-5.pdf heißt es, dass wir nicht wissen, ob der euklidische TSP im NP ist:
Der Grund dafür ist, dass wir nicht wissen, wie man Quadratwurzeln effizient berechnet.
Auf der anderen Seite gibt es dieses Papier von Papadimitriou: http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0304397577900123, das besagt, dass es NP-vollständig ist, was auch bedeutet, dass es in NP ist. Obwohl er es in der Zeitung nicht beweist, denke ich, dass er die Mitgliedschaft in NP für trivial hält, wie es bei solchen Problemen normalerweise der Fall ist.
Das verwirrt mich. Ehrlich gesagt hat mich die Behauptung, dass wir nicht wissen, ob Euclidian TSP in NP ist, geschockt, da ich nur angenommen habe, dass es trivial ist - wenn wir die TSP-Tour als Zertifikat nehmen, können wir leicht überprüfen, ob sie gültig ist. Das Problem ist jedoch, dass es einige Quadratwurzeln geben kann. Die Vorlesungsunterlagen behaupten also grundsätzlich, dass wir das folgende Problem in der Polynomzeit nicht lösen können:
Wenn die rationale Zahl , entscheiden Sie, ob .
Frage 1: Was wissen wir über dieses Problem?
Dies führt zu folgender Vereinfachung, die ich nicht finden konnte:
Frage 2: Ist dies auf den Sonderfall mit ? Ist dieser Sonderfall polynomialzeitlösbar?
Als ich eine Weile darüber nachdachte, kam ich dazu. Wir wollen eine polynomielle Zeitkomplexität in Bezug auf die Anzahl der Bits der Eingabe, dh nicht die Größe der Zahlen selbst. Wir können die Summe leicht zu einer Polynomzahl von Dezimalstellen berechnen. Um einen schlechten Fall zu bekommen, brauchen wir eine Instanz von für k = 1 , 2 , ..., so dass für jedes Polynom p eine ganze Zahl k existiert , die √ ist undAkstimmen mit den erstenp-Stellen(Eingabegröße)der Dezimalerweiterungüberein.
Frage 3: Gibt es eine solche Instanz der Referenznummer?
Aber was ist die ? Dies hängt davon ab, wie die rationalen Zahlen dargestellt werden! Jetzt bin ich neugierig:
Frage 4: I ist algorithmisch wichtig , wenn rationale Zahl als Verhältnis von zwei Integer - gegeben ist (wie beispielsweise ) oder in der Dezimaldarstellung (wie 2,5334 ¯ 567 )? Mit anderen Worten, gibt es eine Familie rationaler Zahlen, bei der die Größe der Dezimalexpansion nicht polynomiell an die Größe der Verhältnisrepräsentation gebunden ist, oder umgekehrt?