Beibehalten des Werts eines Polynoms über eine dynamisch aktualisierte Eingabe

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Sei ein Polynom über einem festen endlichen Feld. Angenommen, wir erhalten den Wert von für einen Vektor und den Vektor . $P(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ $P$ $y \in \{0,1\}^n$ $y$

Wir wollen nun den Wert von auf einem Vektor so berechnen dass sich und an genau einer Position unterscheiden (mit anderen Worten, wir drehen genau ein Bit in ). Was sind die räumlichen und zeitlichen Kompromisse für dieses Problem? $P$ $y' \in \{0,1\}^n$ $y$ $y'$ $y$

Wenn beispielsweise die Anzahl der Monome in , können wir die Koeffizienten und die Werte aller Monome in speichern . Wenn umgedreht wird, legen wir den Wert jedes Monoms, das und dann den Wert von Verwendung der gespeicherten Informationen fest. Insgesamt brauchen wir Zeit und Raum. $r$ $P$ $P$ $y_i$ $y_i$ $P(y)$ $O(r)$

(Ich sage nichts darüber, wie wir die Monome, die zu diesem Zweck identifizieren . Sie können eine vernünftige Darstellung von wählen. In dem Beispiel gehe ich davon aus, dass wir für jedes eine Liste von Monomen speichern, die enthalten .) $y_i$ $P$ $y_i$ $i$

Gibt es etwas Besseres?

polynomials dynamic-algorithms

— Tatiana Starikovskaya
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$P$ $i$ $y$ $y_i$ $s$ $O(s)$

— Joshua Grochow
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1

y

$y$

f (y)

$f(y)$

1

@AndrewMorgan Abhängig von Ihrer Bewerbung, für meine ist es in Ordnung anzunehmen, dass y gegeben ist. Danke für den Kommentar!

— Tatiana Starikovskaya

2

y

$y$

y

$y$

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Es ist einfach, Ihren Ansatz zum Speichern von Monomen so zu ändern, dass jede Aktualisierung nur proportional zur Anzahl der geänderten Monome dauert: Aktualisieren Sie einfach den gesamten Polynomwert, indem Sie den neuen Wert addieren und den alten Wert für jedes geänderte Monom subtrahieren.

$P$ $P$ $k$ $O(k\log N)$ $N$

— David Eppstein
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