Etwas-Treewidth-Eigentum

Sei ein Graphparameter (zB Durchmesser, Dominanzzahl usw.)$s$

Eine Familie von Graphen hat die Eigenschaft -treewidth, wenn es eine Funktion so dass für jeden Graphen die Baumbreite von höchstens . s f G ∈ F G f ( s $\mathcal{F}$$s$$f$$G\in \mathcal{F}$$G$$f(s)$

Zum Beispiel sei und die Familie der planaren Graphen. Dann ist bekannt, dass jeder planare Graph mit einem Durchmesser von höchstens eine Baumbreite von höchstens . Allgemeiner zeigte Eppstein , dass eine Familie von Graphen genau dann die Eigenschaft Durchmesser-Baumbreite hat, wenn sie einen Apex-Graphen als Nebeneffekt ausschließt. Beispiele für solche Familien sind Diagramme konstanter Gattungen usw.F s O ( s $s = \mathit{diameter}$$\mathcal{F}$$s$$O(s)$

Als weiteres Beispiel sei . Fomin und Thilikos haben ein analoges Ergebnis zu Eppsteins bewiesen, indem sie zeigten, dass eine Familie von Graphen genau dann die Eigenschaft Dominanzzahl-Baumbreite hat, wenn eine lokale Baumbreite hat. Beachten Sie, dass dies genau dann geschieht, wenn die Eigenschaft Durchmesser-Baumbreite hat.$s = \mathit{domination{-}number}$$\mathcal{F}$$\mathcal{F}$

Fragen:

1. Für welche Graphparameter ist bekannt, dass die Eigenschaft treewidth für planare Graphen gilt?$s$$s$
2. Für welche Graphparameter ist bekannt, dass die Eigenschaft Treewidth für Graphen mit begrenzter lokaler Baumbreite gilt?$s$$s$
3. Gibt es noch andere Familien von Graphen, nicht vergleichbar mit graphischen Darstellungen der begrenzten lokalen Baumweite , für die die -treewidth Eigenschaft hält für einige geeignete Parameter ?$s$$s$

Ich habe das Gefühl, dass diese Fragen in irgendeiner Beziehung zur Theorie der Zweidimensionalität stehen . Innerhalb dieser Theorie gibt es mehrere wichtige Parameter. Zum Beispiel die Größen der Rückkopplungsscheitelpunktmenge, der Scheitelpunktabdeckung, der minimalen maximalen Übereinstimmung, der Gesichtsabdeckung, der dominierenden Menge, der kantendominierenden Menge, der R-dominierenden Menge, der verbundenen dominierenden Menge, der verbundenen kantendominierenden Menge, der verbundenen R-dominierenden Menge usw.

4. Hat jeder Parameter in bidimensionality Theorie hat die angetroffen -treewidth Eigenschaft für eine geeignete Familie von Graphen?$s$$s$

Zu Frage : Jeder zweidimensionale Parameter hat diese Eigenschaft in allgemeinen Diagrammen. Ein Parameter ist zweidimensional, wenn der Wert von für jedes kleine von ist und wenn in Gittern "groß" ist.s ( G ) s ( G ) ≥ s ( H ) H G $1$$s(G)$$s(G) \geq s(H)$$H$$G$$s$

In Anwendungen auf PTASes, subexponentielle Algorithmen und Kernel in kleinen freien Klassen von Graphen bedeutet "groß", dass eine Konstante , so dass der Wert von in einem mal- Gitter mindestens beträgt . Dies ist, was Sie höchstwahrscheinlich finden werden, wenn Sie eine Google-Suche nach "Zweidimensionalität" durchführen.$c$$s$$t$$t$$ct^2$

Für Ihre Frage ist es jedoch ausreichend, dass auf mal Gittern bis unendlich wächst, wenn bis unendlich wächst. Dies liegt daran, dass jedes Diagramm mit einer ausreichend großen Baumbreite ein ausreichend großes Raster enthält. Also, um zu schließen, wenn s:$s$$t$$t$$t$

• ist unter Minderjährigen geschlossen
• ist auf t mal t Gittern beliebig groß für groß genug t

Dann hat s die Eigenschaft s-treeewidth. Weitere Informationen finden Sie im aktuellen Buch zur parametrisierten Komplexität ( http://parameterized-algorithms.mimuw.edu.pl ) im Kapitel über die Breite.

Zu Ihrer Liste gehören (mindestens) die Scheitelpunktabdeckungsnummer und die Größe des Rückkopplungsscheitelpunktsatzes für Diagramme im Allgemeinen.

1. Wenn ein Graph eine Scheitelpunktabdeckung von höchstens , dann hat er höchstens eine Baumbreite … ?$s$$\dots$

2. Wenn ein Diagramm höchstens einen Rückkopplungsscheitelpunkt mit einer Größe hat , hat er höchstens eine Baumbreite … ?$s$$\dots$