Wann entspricht BPP mit einer voreingenommenen Münze dem Standard-BPP?

Lassen Sie eine probabilistische Turing-Maschine Zugriff auf eine unfaire Münze haben, die mit der Wahrscheinlichkeit auftaucht (Flips sind unabhängig). Definieren Sie als die Klasse von Sprachen, die von einer solchen Maschine in Polynomzeit erkannt werden. Es ist eine Standardübung, um Folgendes zu beweisen: $p$ $BPP_p$

A) Wenn rational oder sogar ist -computable dann . (Mit -berechnbar meine ich: Es gibt einen randomisierten Polynomalgorithmus, der mit in unären Mengen gespeist wird, wenn das binäre Rationale mit dem Nenner innerhalb von von .) $p$ $BPP$ $BPP_p=BPP$ $BPP$ $n$ $2^n$ $2^{-n-1}$ $p$

B) Für einige unberechenbare die Klasse eine unentscheidbare Sprache enthält und somit größer als . Solche Werte von bilden eine dichte Menge in . $p$ $BPP_p$ $BPP$ $p$ $(0,1)$

Meine Frage lautet wie folgt: Was passiert dazwischen? Gibt es ein Kriterium für ? Speziell: $BPP_p=BPP$

1) Gibt es in berechenbare Wahrscheinlichkeiten , so dass ? (Sie können in einigen höheren Klassen berechenbar sein). $BPP$ $p$ $BPP_p=BPP$

2) Ist für alle nicht berechenbaren breiter als ? (Die fraglichen Parameter sind diejenigen, deren binäre Erweiterung sehr lange Folgen von Nullen und / oder Einsen enthält. In diesem Fall kann das Berechnen von Bits durch zufällige Abtastung sehr lange, sogar nicht berechenbare Zeit dauern, und das Problem kann nicht auf die Polynomzeit neu skaliert werden Schwierigkeiten können durch eine andere Expansionsbasis überwunden werden, aber bestimmte können alle Basen täuschen). $BPP_p$ $BPP$ $p$ $p$

cc.complexity-theory randomized-algorithms probabilistic-complexity

— Daniil Musatov
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Was genau meinst du damit, dass p (nicht) berechenbar ist?

— Daniello

Ich habe die Definition von

-berechnbar hinzugefügt. Für berechenbare im Allgemeinen kann man einfach die Wörter "randomisiertes Polynom" fallen lassen oder einfach sagen, dass die binäre Erweiterung berechenbar ist. (Mit begrenzten Ressourcen ist dies nicht dasselbe.)

B P P

$BPP$

— Daniil Musatov

Ich denke,

für jedes nicht berechenbare

weil man bei einer

voreingenommenen Münze das

-te Bit von

durch Abtasten berechnen kann . Angenommen , wir berechnen kann , die

-te Bit in der Zeit

, dann ist die Sprache , die enthält

für alle

, so dass die

-te Bit von

ist

ist in

B P P_{p} \neq B P P

$BPP_p \neq BPP$

p

$p$

p

$p$

n

$n$

p

$p$

n

$n$

f (n)

$f(n)$

1^{x}

$1^x$

x

$x$

f^{- 1} (x)

$f^{-1}(x)$

p

$p$

1

$1$

B P P_{p}

$BPP_p$ , aber klar ist es nicht berechenbar.

— Daniello

Dies gilt definitiv für die überwiegende Mehrheit der nicht berechenbaren

. Es gibt jedoch eine Einschränkung: Wenn

sehr lange Folgen von Nullen und Einsen enthält, ist möglicherweise eine sehr lange Abtastung erforderlich, um das

-te Bit zu bestimmen . Diese Abtastung kann so lang sein, dass

nicht berechenbar wäre (wie die Busy Beavers-Funktion). Ich bezweifle auch, dass es aus der Stichprobe selbst genau berechnet werden kann. Und es scheint, dass man ohne Berechnung von

die erwähnte Sprache nicht erkennen kann.

p

$p$

p

$p$

n

$n$

f (n)

$f(n)$

f (n)

$f(n)$

— Daniil Musatov

$L\in EXP\setminus BPP$ $EXP$ $n\notin L$ $n$ $2's$ $2^{2^{2^\ldots}}$ $p=\sum_{n\in L} 1/n$ $p$ $BPP$ $p$ $P$ $BPP_p$

$BPP$ $p$ $1/n$ $1/2^n$

$2^{-n}$ $2^{-n-1}$

$2^n$ $n$ $p$ $BPP_p$

— domotorp
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2^{2 n}

$2^{2n}$

2^{n}

$2^n$

2^{- n}

$2^{-n}$

| p - \frac{1}{2} | < ϵ

$|p-\frac12|<\epsilon$

\frac{1}{ϵ^{2}}

$\frac1{\epsilon^2}$

B P P

$BPP$

p

$p$

0.01111111111

$0.01111111111$

1

$1$

p

$p$

p

$p$

i

$i$

2^{- i - 1}

$2^{-i-1}$

p

$p$

2^{- n}

$2^{-n}$

p

$p$