Sind arithmetische Schaltungen schwächer als Boolesche?

Let bezeichnen die Mindestgröße eines (nicht-monotone) arithmetic ( + , x , - ) Schaltung Berechnen eines gegebenen multi Polynom f ( x 1 , ... , x n ) = Σ e ∈ E c e n Π i = 1 x e i$A(f)$$(+,\times,-)$ und B ( f ) bezeichnen die minimale Größe einer (nicht monotonen) booleschen ( ∨ , ∧ , ¬ ) Schaltung, die dieboolesche Version f b von f berechnet,definiert durch: f b ( x 1 , … , x n ) = ⋁ e ∈ E ⋀ i : e i ≠ 0 x

$$f(x_1,\ldots,x_n)=\sum_{e\in E}c_e\prod_{i=1}^n x_i^{e_i}\,,$$ $B(f)$$(\lor,\land,\neg)$ $f_b$$f$ $$f_b(x_1,\ldots,x_n)=\bigvee_{e\in E}\ \bigwedge_{i\colon e_i\neq 0} x_i\,.$$

Sind Polynome bekannt, für die B $f$$B(f)$$A(f)$

$(-)$$(\neg)$$B(f)$$A(f)$$f$$K_n$$B(f)=O(n^3)$$A(f)=2^{\Omega(n)}$$A(f)$

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ANMERKUNG (15.03.2016) In meiner Frage habe ich nicht angegeben, wie groß die Koeffizienten dürfen. Igor Sergeev erinnerte mich , dass zum Beispiel die folgenden (univariate) Polynom f ( z ) = Σ m j = 1 2 2 j m z j hat A ( f ) = Ω ( m 1 / 2 ) (Strassen und Menschen seiner Gruppe). Aber B ( f ) = 0 für dieses Polynom, da f b$c_e$$f(z)=\sum_{j=1}^m 2^{2^{jm}} z^j$$A(f)=\Omega(m^{1/2})$$B(f)=0$ . Wir können fron f a erhalten$f_b(z)=z$$f$ multivariate Polynom von n = log m Variablen Substitution using Kronecker. Assoziiere mit jedem Exponenten j ein Monom X j = ∏ i : a i = 1 x i , wobei ( a 1 , … , a n$f'(x_1,\ldots,x_n)$$n=\log m$$j$$X_j=\prod_{i:a_i=1}x_i$$(a_1,\ldots,a_n)$ die 0-1 Koeffizienten der binären Darstellung von . Dann ist das gewünschte Polynom f ′ = ∑ m j $j$, und wir habendass A(f')+n≥A(f)=Ω(m1/2)=2Ω(n). Aber die boolesche Version vonf'ist nur ein ODER von Variablen, alsoB$f'=\sum_{j=1}^m c_j X_j$ $$A(f')+n\geq A(f)=\Omega(m^{1/2})=2^{\Omega(n)}.$$ $f'$ , und wir haben eine gerade Exponentiallücke. Wenn also die Größe der Koeffizienten in der Anzahl n der Variablendreifach exponentiell sein kann,dann ist die Lücke A ( f ) / B $B(f')\leq n-1$$n$kann,kanngezeigt werden, dass f ) gerade exponentiell ist. (Eigentlich nicht die Größe selbst, sondern die algebraische Abhängigkeit der Koeffizienten.) Aus diesem Grund ist das eigentliche Problem mit A ( f ) beikleinenKoeffizientender Fall(idealerweise nur 0-1). Aber in diesem Fall, wie Joshua erinnerte, die Untergrenze A ( f $A(f)/B(f)$ $A(f)$ von Strassen und Baur (mit 0-1 Koeffizienten) bleibt das Beste, was wir heute haben.$A(f)=\Omega(n\log n)$

$\mathsf{VP}^0 \neq \mathsf{VNP}^0$

$\Omega(n \log n)$$\sum_{i=1}^n x_i^n$$\Omega(n \log n)$$x_1 \vee x_2 \vee \dotsb \vee x_n$