SAT in der endlichen Modelltheorie ohne Ordnung

In der endlichen Modelltheorie ist bekannt, dass die Expressivität ohne eine Reihenfolge der Eingabe sehr begrenzt ist. Zum Beispiel ist bekannt, dass gleich PSPACE ist und F O ( PFP ) (ohne jede Reihenfolge in der Eingabe) nur PSPACE- relational ist, ein Begriff, der von Abiteboul und Vianu definiert wurde, als sie ihren Satz bewiesen haben : F O ( IFP , < ) = F O ( PFP , < ), wenn F O ( $FO(<,\textit{PFP})$$FO(\textit{PFP})$$FO(\textit{IFP},<)=FO(\textit{PFP},<)$ . (ÄquivalentP=PSPACE,wennP-relational=PSÄCE -relational.)$FO(\textit{IFP})=FO(\textit{PFP})$

Relationale Maschinen sind Turingmaschinen mit einer endlichen Anzahl von Beziehungen. Wie in einer Datenbank ist eine Beziehung eine Menge von Tupeln von Elementen aus einem endlichen Universum. Die Maschine kann prüfen, ob eine Beziehung leer ist (wenn eine Tabelle leer ist), Boolesche Operationen über die Beziehungen (Vereinigung, Schnittmenge, Verknüpfung, Projektion) und die üblichen Turing-Maschinenoperationen ausführen. Beachten Sie, dass die Eingabe relationaler Maschinen in den Relationen und nicht auf dem Band erfolgt. Es ist bekannt, dass PSPACE- relational ( ) nicht einmal die Parität berechnen kann und daher weniger aussagekräftig ist als PSPACE .$FO(\textit{PFP})$

Man kann Abfragen mit relationalen Maschinen definieren, aber man kann auch Funktionen definieren, wobei die Antwort einer Funktion der Inhalt einiger Beziehungen und des Bandes am Ende der Berechnung ist. Eine solche Maschine hat die Eigenschaft, dass es niemals möglich ist, a von b zu unterscheiden , wenn zwei Elemente und b der Eingabe vorhanden sind, so dass ein Isomorphismus vorliegt , der a nach b und b nach a sendet . Insbesondere in jedem Verhältnis R des Ausgangs, wenn R ( a , ¯ x ) wahr ist , dann $a$$b$$\phi$$a$$b$$b$$a$$a$$b$$R$$R(a,\overline x)$ ist auch.$R(b,\phi(\overline x))$

Der Grund dafür ist, dass die zulässigen Operationen (Vereinigung, Schnittmenge, Projektion und Verknüpfung) alle den Isomorphismus respektieren. Daher respektiert die Ausgabe jeden Isomorphismus, der von der Eingabe respektiert wird.

In sind a und b symmetrisch, und die Funktion ϕ , die a und b umschaltet, ist eindeutig ein Isomorphismus des Eingangs. Angenommen, es gibt eine Funktion zum Berechnen zufriedenstellender Zuweisungen für 3 - S A T- Instanzen, deren Ausgabe P ist (die Menge von Variablen, die in einer korrekten Zuweisung true zugewiesen sind). Dann möchten wir entweder P = { a } oder $(a\lor b)\land(\neg a\lor\neg b)$$a$$b$$\phi$$a$$b$$3-SAT$$P$$P=\{a\}$ . Der Isomorphismus bedeutet jedoch, dass P entweder sowohl a als auch b oder keines vonbeiden enthält.$P=\{b\}$$P$$a$$b$

Daher haben wir bewiesen, dass es keine PSPACE- Beziehungsfunktion gibt, die eine Zuordnung zu einer 3-SAT-Instanz ausgeben kann.

Meine Frage ist: Wie beweisen Sie, dass es keine PSPACE- Beziehung (dh ) gibt, die nur die Eingabe akzeptiert, die eine zufriedenstellende Zuordnung hat? Die Frage ist anders, da ich nicht beabsichtige, die Zuordnung zu berechnen und nicht nach a oder b in der Ausgabe zu fragen, sondern nur "akzeptieren" oder "ablehnen" sehen möchte. Und im Gegensatz zur üblichen Welt der Turing-Maschinen Es ist nicht gleichbedeutend damit, zu wissen, ob eine Antwort existiert, und die Antwort zu finden, da wir unsere relationale Maschine nicht für die Frage "Gibt es eine Antwort mit a = t r u e " verwenden können, weil wir nicht unterscheiden können $FO(\textit{PFP})$$a$$b$$a=true$$a$von .$b$

$\mathrm{L}^\omega_{\infty\omega}$$\mathrm{L}^\omega_{\infty\omega}$$\mathrm{L}_{\infty\omega}$$\bigvee_i \phi_i$$\bigwedge_i \phi_i$$\mathrm{L}^k_{\infty\omega}$$\mathrm{L}_{\infty\omega}$$k$$\mathrm{L}^\omega_{\infty\omega} = \bigcup_k \mathrm{L}^k_{\infty\omega}$

$\subseteq \mathrm{L}^\omega_{\infty\omega}$$\mathrm{L}^k_{\infty\omega}$$k$

$\mathrm{L}^k_{\infty\omega}$$k$$k$

$\mathrm{L}^k_{\infty\omega}$$k$$k$$F_k$$G_k$$F_k \equiv^k_{\infty\omega} G_k$$A \equiv^k_{\infty\omega} B$$k$$A$$B$$F_k$$G_k$

$K_k \equiv^k_{\infty\omega} K_{k+1}$$K_a$$a$$\mathrm{L}^\omega_{\infty\omega}$$\mathrm{L}^\omega_{\infty\omega}$