Auswertung symmetrischer Polynome

Sei ein symmetrisches Polynom , dh ein Polynom, so dass für alle und alle Permutationen . Der Einfachheit halber können wir annehmen, dass ein endliches Feld ist, um zu vermeiden, dass Probleme mit dem Berechnungsmodell behoben werden. $f:\mathbb{K}^n \to \mathbb{K}$ $f(x)=f(\sigma(x))$ $x \in \mathbb{K}^n$ $\sigma \in S_n$ $\mathbb{K}$

Lassen die Komplexität der Berechnung bezeichnen , das heißt, die Komplexität eines Algorithmus, der gegebenen , kehrt . Können wir irgendwie anhand der Eigenschaften von charakterisieren ? Ist uns beispielsweise garantiert, dass ) für alle symmetrischen Polynome Polynom (in ) ist ? $C(f)$ $f$ $x$ $f(x)$ $C(f)$ $f$ $C(f)$ $n$ $f$

Als Spezialfall, es sieht aus wie (a) wir die Berechnung können Leistungssummen - Polynomen in Zeit , und (b) können wir die Berechnung können elementare symmetrische Polynome zeitlich , unter Verwendung von Newtons Identitäten . Wenn eine gewichtete Summe von Monomen ist, bei der keine Variable auf eine Potenz höher als 1 angehoben wird (dh wenn mehrlinig ist), kann folglich in Polynomzeit berechnet werden (da es als gewichtete Summe ausgedrückt werden kann von elementaren symmetrischen Polynomen). Zum Beispiel, wenn $\text{poly}(n)$ $\text{poly}(n)$ $f$ $f$ $f$ $\mathbb{K}=GF(2)$ dann kann jedes symmetrische Polynom in Polynomzeit berechnet werden. Kann man mehr als das sagen?

cc.complexity-theory permutations polynomials

— DW
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Wenn Sie an einer Berechnung über interessiert sind, möchten Sie möglicherweise das Berechnungsmodell klären.

R

$\mathbb{R}$

— Kaveh

@ Kaveh, ahh, ausgezeichneter Punkt. Ich denke, ich bin nicht auf ein bestimmtes Feld konzentriert, also werde ich wahrscheinlich nach endlichen Feldern fragen, damit dieses Problem behoben wird. Mich interessiert eher, ob es Ergebnisse oder systematische Techniken zur Bestimmung der Komplexität der Bewertung eines symmetrischen Polynoms .

f

$f$

— DW

Wie ist f angegeben? Dies ist entscheidend für die Komplexität der Bewertung.

— Thomas

@ Thomas, es sollte keine Rolle spielen. Für jedes einzelne feste ist gut definiert (es ist die Komplexität des besten Algorithmus zur Berechnung von ). Dies ist genau definiert und hängt nicht davon ab, wie "angegeben" wird. (Beachten Sie, dass

f

$f$

C (f)

$C(f)$

f

$f$

f

$f$

f

$f$ keine Eingabe für den Algorithmus ist, sodass seine Darstellung nicht definiert werden muss.) Oder anders ausgedrückt: Wenn ich eine symmetrische Funktion

habe, die ich berechnen möchte, gibt es Techniken oder Ergebnisse um mir zu helfen, einen effizienten Algorithmus zur Berechnung von

oder um festzustellen, wie effizient mein

berechnet werden kann?

f

$f$

f

$f$

f

$f$

— DW

@Thomas, ja: Wenn es Ergebnisse oder Techniken gibt, die anwendbar sind, wenn der Abschluss nicht zu groß ist, klingt das nützlich. (Wenn zum Beispiel der Grad wrt für jede Variable, getrennt betrachtet, höchstens eine kleine Konstante

, können wir etwas sagen? Der letzte Absatz meiner Frage behandelt den Fall

; können wir mehr sagen? Oder alternativ: Wenn der Gesamtgrad von

nicht zu groß ist, können wir etwas sagen?)

c

$c$

c = 1

$c=1$

f

$f$

— DW

Die Frage scheint ziemlich offen zu sein. Oder möchten Sie die zeitliche Komplexität eines möglichen symmetrischen Polynoms über endliche Felder genau charakterisieren?

Zumindest meines Wissens gibt es auf jeden Fall einige bekannte Ergebnisse zur zeitlichen Komplexität der Berechnung symmetrischer Polynome:

$f$ $TC^0$
$f$ $0$ $TC^0$
$f$ $f$ $TC^0$

Wahrscheinlich sind bekanntere Ergebnisse zur zeitlichen Komplexität des symmetrischen Polynoms ...

— Iddo Tzameret
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