Anzahl der Schnitte eines Graphen ohne Verwendung des Karger-Algorithmus

Wir wissen, dass Kargers Mincut-Algorithmus verwendet werden kann, um (auf nicht konstruktive Weise) zu beweisen, dass die maximale Anzahl möglicher Mincuts, die ein Graph haben kann, .$n \choose 2$

Ich habe mich gefragt, ob wir diese Identität irgendwie beweisen können, indem wir einen bijektiven (eher injektiven) Beweis aus der Menge der Schnitte einer anderen Menge der Kardinalität . Keine besonderen Gründe, es ist nur eine Kuriosität. Ich habe es aus eigener Kraft versucht, aber bisher keinen Erfolg gehabt. Ich würde nicht wollen, dass jemand Zeit darüber verschwendet, und wenn die Frage sinnlos erscheint, würde ich die Moderatoren auffordern, entsprechende Maßnahmen zu ergreifen.$n \choose 2$

Beste -Akash

Die Ich denke, gebunden wurde von Dinitz, Karzanov und Lomonosov 1976 in "Eine Struktur für das System aller Minimalschnitte eines Graphen" bewiesen. Vielleicht finden Sie in diesem Artikel, wonach Sie suchen, aber ich bin nicht sicher, ob es online ist.$\binom{n}{2}$

Informell kann man argumentieren, dass alle Knoten in einem Graphen den gleichen Grad haben müssen, um die maximale Anzahl von Min-Schnitten zu haben.

Lassen Sie einen Schnitt ein Diagramm teilen $G$ in zwei Knotensätze $C$ und $\bar C$ so dass $C \cap \bar C=\emptyset$. Die Anzahl der Min-Schnitte in einer Grafik sei mit bezeichnet$mc(G)$.

Consider a connected graph with $n$ vertices in which each vertex has degree two. This must be the cycle graph and the minimum cut is two edges. It is obvious that cutting any two edges will result in a cut and that such a cut is a minimum cut. Since there are $n(n-1)/2$ distinct pairs of edges there are $n(n-1)/2$ minimum cuts.

Make a new graph by removing an edge from the cycle graph. The minimum cut of the new graph is one edge and cutting any edge will suffice: there are $n-1$ such cuts which can be made.

Make a new graph by adding an edge to the cycle graph. Now two nodes have degree three and $n-2$Knoten haben Grad zwei. Dem Grad drei müssen beide Knoten angehören$C$ oder beides gehört dazu $\bar C$. Beachten Sie, dass im Fall des Zyklusdiagramms keine Knoten für die gemeinsame Darstellung in beschränkt waren$C$ oder $\bar C$. Die Implikation ist, dass durch Hinzufügen einer Kante eine Einschränkung hinzugefügt wird, die die Anzahl der minimalen Schnitte verringert.

Durch Heraufstufen mehrerer Knoten auf Grad drei werden zusätzliche Einschränkungen hinzugefügt, bis zu dem Punkt, an dem es nur einen minimalen Schnitt von Grad zwei gibt.

Das Vorstehende zeigt, dass der Zyklusgraph (mindestens) ein lokales Maximum von ist $mc$.

Betrachten Sie den Satz von Graphen, in denen jeder Knoten Grad drei hat. Wenn Sie eine Kante entfernen, erhalten Sie ein Diagramm mit einem Min-Cut von zwei. Wenn Sie wie oben eine Kante hinzufügen, werden zwei Knoten erzeugt, die am häufigsten auf derselben Seite des Schnitts erscheinen.

Dies legt nahe, dass die Graphen, in denen jeder Knoten ist von Grad $k$ sind lokale Maxima von $mc$. Beachten Sie, dass das vollständige Diagramm hat$mc=n$ cuts of size $n-1$ suggests that this is a declining function.

I haven't put too much thought into whether it is possible to formalize the above, but it represents a possible approach.

Also, I think the Bixby paper Jelani Nelson mentions in the comment to his answer is entitled "The Minimum Number Of Edges And Vertices in A Graph With Edge Connectivity n And M n-bonds" (link)