Wie komplex ist es, ungerade Knoten im Diagramm zu zählen?

Laut Handshaking Lemma: Jeder ungerichtete Graph mit einem Scheitelpunkt, dessen Grad eine ungerade Zahl ist, muss einen anderen Scheitelpunkt haben, dessen Grad eine ungerade Zahl ist. Diese Beobachtung bedeutet, dass wir, wenn wir ein Diagramm und einen Scheitelpunkt ungeraden Grades erhalten und aufgefordert werden, einen anderen Scheitelpunkt ungeraden Grades zu finden, nach etwas suchen, das garantiert existiert (also haben wir ein totales Suchproblem ).

PPA (Christos Papadimitriou 1994 [1]) ist wie folgt definiert. Angenommen, wir haben einen Graphen, dessen Scheitelpunkte n-Bit-Binärzeichenfolgen sind, und der Graph wird durch eine Schaltung mit Polynomgröße dargestellt, die einen Scheitelpunkt als Eingabe verwendet und seine Nachbarn ausgibt. (Beachten Sie, dass wir so einen exponentiell großen Graphen darstellen können, auf dem wir effizient lokale Erkundungen durchführen können.) Nehmen wir außerdem an, dass ein bestimmter Scheitelpunkt (z. B. der Vektor mit allen Nullen) eine ungerade Anzahl von Nachbarn hat. Wir müssen einen anderen Scheitelpunkt ungeraden Grades finden. Die entsprechende Klasse von Paritätsargumenten für gerichtete Graphen gehört zu PPAD.

Meine Frage: Wie komplex ist es, ungerade Knoten in gerichteten und ungerichteten Graphen zu zählen?

[1] Papadimitriou, Christos H. "Zur Komplexität des Paritätsarguments und anderer ineffizienter Existenznachweise." Journal of Computer and System Sciences 48.3 (1994): 498 & ndash; 532.

Na ja, zumindest -hard. Bei einer SAT Formel konstruiert ein Diagramm mit zwei Ecken, v x und v ' x , für jede mögliche Zuordnung von Variablen → x . Wenn x eine zufriedenstellende Zuordnung für die Formel ist, zeichnen Sie eine Kante zwischen v x und v ' x ; Dies sind die einzigen Kanten. Es ist einfach, die Schaltung für diesen Graphen aus der SAT-Formel zu konstruieren, und die Anzahl der ungeraden Eckpunkte ist genau doppelt so hoch wie die Anzahl der erfüllenden Zuweisungen.$\#\mathsf{P}$$v_x$$v_x'$$\vec{x}$$x$$v_x$$v_x'$