Logische Überlegungen zu einem improvisierten System in einer prädikativen Metatheorie

Logische Beziehungen für improvisatorische Sprachen wie System F scheinen sich kritisch auf die improvisatorische Wirkung der Umgebungslogik zu stützen. Insbesondere wird die Interpretation für den Forall-Typ in Bezug auf alle typisierten Beziehungen definiert. In einem aussagekräftigen System (wie CiC / Coq) ist das in Ordnung, aber in einem aussagekräftigen System (wie Agda) scheint es unmöglich zu sein.

Wie geht das? Wie würden Sie beispielsweise die Normalisierung für System F in Agda nachweisen? Müssen Sie Ihr eigenes prägnantes Universum aufbauen?

Im Allgemeinen ist das, was wir normalerweise als logisches Beziehungsargument bezeichnen, nicht wirklich mit Impredikativität verbunden: Die Hauptidee besteht darin, Begriffe in einer abstrakten Algebra zu interpretieren und Typen als ( n- primäre) Beziehung R ⊆ A n darzustellen .$\cal A$$n$$R \subseteq \cal A^n$

Dies funktioniert einwandfrei für alle Arten von Typentheorien, einschließlich abhängig typisierter Theorien, siehe z. B. Shürmann und Sarnat: Structural Logical Relations, bei denen eine Prädikativlogik (die von Twelf) verwendet wird, um eine bestimmte Eigenschaft (Entscheidbarkeit der Gleichheit) für eine Prädikativrechnung zu beweisen (einfach -calculus eingeben) mit logischen Beziehungen.$\lambda$

Wie Sie vielleicht vermutet haben, ist es jedoch nicht möglich, eine Normalisierung des Systems F in Agda nachzuweisen (wenn Agda nicht heimlich stärker als erwartet ist, dh über die Stärke der Martin-Löf-Typentheorie mit einer Reihe von Universen). Dies liegt daran, dass die Normalisierung von System F die Konsistenz von Arithmetik 2. Ordnung ( ) impliziert, die stärker ist als die ML-Typ-Theorie mit einer beliebigen Anzahl von (prädikativen) Universen.$\mathrm{PA}_2$

Es ist jedoch lehrreich, genau herauszufinden, wo in Agda der Beweis falsch ist. Es tritt in der Tat auf, wenn Sie versuchen, die Interpretation der logischen Beziehungen der improvisierten Quantifizierung zu definieren. Die Interpretation der nicht prädikativen Verknüpfungen (einschließlich der "abhängigen" Quantifizierung) ist in einer Theorie wie Agda koscher.