Razborov hat bewiesen, dass die monotone Funktionsanpassung nicht in mP vorliegt . Aber können wir die Übereinstimmung unter Verwendung einer Polynomgrößenschaltung mit wenigen Negationen berechnen? Gibt es eine P / Poly-Schaltung mit -Negationen, die die Übereinstimmung berechnet? Was ist der Kompromiss zwischen der Anzahl der Negationen und der Größe für den Abgleich?$O(n^\epsilon)$

Markov hat bewiesen, dass jede Funktion von Eingängen mit nur ⌈ log ( n + 1 ) ⌉ Negationen berechnet werden kann . Eine effiziente konstruktive Version wurde von Fisher beschrieben. Siehe auch eine Darstellung des Ergebnisses aus dem GLL-Blog .$n$$\lceil \log (n+1)\rceil$

Etwas präziser:

Theorem: Angenommen, wird von einer Schaltung C mit g Gates berechnet, dann wird es auch von einer Schaltung C ∗ mit 2 g + O ( n 2 log 2 n ) berechnet. Tore und and log ( n + 1 ) ⌉ Negationen.$f : \{0,1\}^n \to \{0,1\}^m$$C$$g$$C^*$$2g + O(n^2 \log^2 n)$$\lceil \log (n+1) \rceil$

Die Hauptidee besteht darin, für jeden Draht in C einen Parelleldraht w ' in C ∗ hinzuzufügen , der immer das Komplement von w trägt . Der Basisfall ist für die Eingangsdrähte: Fisher beschreibt , wie eine Inversionsschaltung konstruieren , I ( x ) = ¯ x mit O ( n 2 log 2 n ) Gattern und nur ⌈ log ( n + 1 ) ⌉ Negationen. Für das UND - Gatter der Schaltung C , können wir erweitern $w$$C$$w'$$C^*$$w$$I(x) = \overline x$$O(n^2 \log^2 n)$$\lceil \log (n+1) \rceil$$C$ mit a ' = b ' ∨ c ' und ebenfalls für OR-Gatter. NOT-Gatter in C kosten nichts, wir tauschen einfach die Rollen von w und w ' stromabwärts des NOT-Gatters. Auf diese Weise ist die gesamte Schaltung außer der Wechselrichter-Teilschaltung monoton.$a = b \land c$$a' = b' \lor c'$$C$$w$$w'$

AA Markov. Zur Inversionskomplexität eines Funktionssystems. J. ACM , 5 (4): 331–334, 1958.

MJ Fischer. Die Komplexität negativer Netzwerke - Eine kurze Übersicht. In Automata Theory and Formal Languages , 71–82, 1975

Berechnung der Inversion von Bits mit n Negationen$2^n-1$$n$

Die Bits seien in absteigender Reihenfolge sortiert, dh i < $x_0, \ldots, x_{2^n-1}$$i<j$ impliziert . Dies kann durch ein monotones Sortiernetz wie das Ajtai-Komlós-Szemerédi-Sortiernetz erreicht werden.$x_i \ge x_j$

Wir definieren die Inversionsschaltung für Bits I n ( → x ) induktiv: Für den Basisfall haben wir n = 1 und I 1 0 ( → x ) : = ¬ x 0 . Sei m = 2 n - 1 . Wir reduzieren I n (für die 2 m + 1 ) Bits zu einem I n - 1 Tor (für $2^n-1$$I^n(\vec{x})$$n=1$$I^1_0(\vec{x}) := \lnot x_0$$m=2^{n-1}$$I^n$$2m+1$$I^{n-1}$$m$$\land$$\lor$ gates. We use negation to compute $\lnot x_m$. For $i<m$ let $y_i := (x_i \land \lnot x_m) \lor x_{m+i}$. We use $I^{n-1}$ to invert $\vec{y}$. Now we can define $I^n$ as follows:

It is easy to verify this inverts $\vec{x}$ by considering the possible values of $x_n$ and using the fact that $\vec{x}$ is decreasing.

From Michael J. Fischer, The complexity of negation-limited networks - a brief survey, 1975.