Welche Beweise gibt es dafür, dass der Graphisomorphismus nicht in

Motiviert durch Fortnows Kommentar in meinem Beitrag, den Beweis, dass das Graphisomorphismus- Problem nicht vollständig ist$NP$ , und durch die Tatsache, dass ein Hauptkandidat für Zwischenprobleme ist (weder vollständig noch für ), interessiere ich mich für bekannte Beweise dass nicht in .$GI$$NP$$NP$$P$$GI$$P$

Ein solcher Beweis ist die Vollständigkeit eines eingeschränkten Graph-Automorphismus-Problems (das Problem des fixpunktfreien Graph-Automorphismus ist vollständig). Dieses Problem und andere Verallgemeinerungen des wurden in " Some NP-complete problems similar to Graph Isomorphism " von Lubiw untersucht. Einige mögen als Beweis dafür argumentieren, dass trotz mehr als 45 Jahren niemand einen Polynom-Zeit-Algorithmus für .$NP$$NP$$GI$$GI$

Welche anderen Beweise müssen wir glauben, dass nicht in ?$GI$$P$

Vor dieser Frage war ich der Meinung, dass der Graphisomorphismus in P enthalten sein könnte, dh dass es keine Beweise dafür gibt, dass GI nicht in P enthalten ist. Ich fragte mich, was für mich als Beweis gelten würde: Wenn es ausgereifte Algorithmen für - gäbe. Gruppenisomorphismus, der die verfügbare Struktur von p- Gruppen voll ausnutzt und dennoch keine Hoffnung auf eine polynomielle Laufzeit hat. Dann würde ich zustimmen, dass GI wahrscheinlich nicht in P enthalten ist. Es gibt bekannte Algorithmen, die die verfügbare Struktur ausnutzen, wie Isomorphism testing for p - Gruppen. von O'Brien (1994)$p$$p$$p$Ich habe es jedoch nicht ausführlich genug gelesen, um beurteilen zu können, ob es die verfügbare Struktur vollständig ausnutzt oder ob Hoffnung besteht, diesen Algorithmus zu verbessern (ohne die zusätzliche nicht offensichtliche Struktur von Gruppen auszunutzen ), um eine polynomielle Laufzeit zu erzielen.$p$

Ich wusste jedoch, dass Dick Lipton Ende 2011 Maßnahmen forderte, um die rechnerische Komplexität des Gruppen-Isomorphismus-Problems im Allgemeinen und des Gruppen-Isomorphismus-Problems im Speziellen zu klären . Also habe ich gegoogelt$p$

site:https://rjlipton.wordpress.com group isomorphism

um zu sehen, ob der Aufruf zum Handeln erfolgreich war. Es war in der Tat:

1. Das Gruppenisomorphismus-Problem: Ein mögliches Polymath-Problem?
2. Fortschritte beim Gruppenisomorphismus
3. Drei aus CCC: Fortschritte beim Gruppenisomorphismus

Der letzte Beitrag bespricht ein Papier, das eine Laufzeit von für bestimmte wichtige Gruppenfamilien erreicht, einen Großteil der verfügbaren Struktur ausnutzt und das oben erwähnte Papier aus dem Jahr 1994 anerkennt. Da die Laufzeit von n O ( log log n ) gebunden ist ist sowohl mit der Erfahrung vereinbar, dass der Graphisomorphismus in der Praxis nicht schwierig ist, als auch mit der Erfahrung, dass niemand in der Lage ist, einen polynomialen Zeitalgorithmus zu entwickeln (auch für den Gruppenisomorphismus), kann dies als Beweis dafür gewertet werden, dass der GI nicht in P enthalten ist .$n^{O(\log \log n)}$$n^{O(\log \log n)}$

Die kleinste Menge von Permutationen, die Sie überprüfen müssen, um sicherzustellen, dass in einer Black-Box-Einstellung keine nicht-trivialen Permutationen vorhanden sind, ist besser als aber immer noch exponentiell, OEIS A186202 .$n!$

Die Anzahl von Bits erforderlich , um ein nicht - markierten Graphen zu speichern von ($log_{2}$. Siehe Naor, Moni. "Prägnante Darstellung allgemeiner unbeschrifteter Diagramme." Discrete Applied Mathematics 28.3 (1990): 303 & ndash; 307. Der Nachweis der Komprimierungsmethode ist, wenn ich mich recht entsinne, etwas sauberer. Wie auch immer, kann Anruf,eingestelltU. Es seiL=2 (${n\choose 2}-n log(n) +O(n)$$U$ für beschriftete Diagramme.$L=2^{{n\choose 2}}$

--Haskell notation
graphCanonicalForm :: L -> U

graphIsomorphism :: L -> L -> Bool
graphIsomorphism a b = (graphCanonicalForm a) == (graphCanonicalForm b)    

und B o o l L L , wenn Sie Exponentialgrößen konvertieren. Es ist einfacher, nur die Typensignaturen zu überprüfen, um Diagramme in kanonischer Form darzustellen, aber wie oben gezeigt, macht GC GI einfach.$U^L$$Bool^{L^{L}}$

Kozen in seiner Arbeit, Ein Cliquenproblem, das dem Graphisomorphismus äquivalent ist , gibt einen Beweis dafür, dass nicht in P ist . Folgendes stammt aus dem Papier:$GI$$P$

"Dennoch ist es wahrscheinlich, dass das Auffinden eines Polynomzeitalgorithmus für den Graphisomorphismus genauso schwierig ist wie das Auffinden eines Polynomzeitalgorithmus für ein NP-vollständiges Problem. Zur Unterstützung dieser Behauptung geben wir ein Problem an, das dem Graphisomorphismus, einer kleinen Störung, äquivalent ist davon ist NP-vollständig. "

Auch Babai spricht in seinem kürzlich erschienenen Durchbruchartikel Graph Isomorphism in quasipolynomial time gegen die Existenz effizienter Algorithmen für GI. Er stellt fest, dass das (auf GI reduzierbare) Gruppenisomorphismusproblem ein Haupthindernis für die Platzierung von GI in . Das Gruppenisomorphismusproblem (Gruppen sind durch ihre Cayley-Tabelle angegeben) ist in n O ( log n ) lösbar und es ist nicht bekannt, dass es in P ist .$P$$n^{O(\log n)}$$P$

Hier ist ein Auszug aus Babais Papier:

Das Ergebnis der vorliegenden Arbeit verstärkt die Bedeutung des Gruppenisomorphismusproblems (und des angegebenen Herausforderungsproblems) als Hindernis für die Platzierung des GI in P. Es ist durchaus möglich, dass der Zwischenstatus des GI (weder NP-vollständig noch polynomiell) wird bestehen bleiben.

Hier sind andere Ergebnisse noch nicht zitiert

• Zur Härte des Graphisomorphismus / Torán FOCS 2000 und SIAM J. Comput. 33, 5 1093 & ndash; 1108.

  Wir zeigen, dass das Graph-Isomorphismus-Problem unter DLOGTIME-einheitlichen AC ⁰ -Reduktionen für die Komplexitätsklassen NL, PL (probabilistischer logarithmischer Raum) für jede logarithmische Raum-Modulklasse Mod _k L und für die Klasse DET von Problemen NC ^{1, die auf} reduziert werden können, schwierig ist die Determinante. Dies sind die stärksten bekannten Härteergebnisse für das Graphisomorphismusproblem und implizieren eine zufällige logarithmische Raumverringerung vom perfekten Anpassungsproblem zum Graphisomorphismus. Wir untersuchen auch Härteergebnisse für das Graph-Automorphismus-Problem.

• Der Graph-Isomorphismus ist nicht AC ⁰ -reduzierbar auf Gruppen-Isomorphismus / Chattopadhyay, Toran, Wagner

  Wir geben eine neue Obergrenze für die Gruppen- und Quasigroup-Isomorphismusprobleme an, wenn die Eingabestrukturen explizit durch Multiplikationstabellen angegeben werden. Wir zeigen, dass diese Probleme durch nichtdeterministische Schaltkreise mit Polynomgröße und unbegrenztem Fan-In mit O (log log n) Tiefe und O (log ² n) nichtdeterministischen Bits berechnet werden können, wobei n die Anzahl der Gruppenelemente ist. Dies verbessert die bestehende Obergrenze von [Wol94] für die Probleme. In der vorherigen oberen Schranke haben die Schaltungen das Fanin begrenzt, aber die Tiefe 0 (log ² n) und auch 0 (log ² n) nicht deterministische Bits. Wir beweisen dann, dass die Art der Schaltkreise aus unserer oberen Schranke die Paritätsfunktion nicht berechnen kann. Da Parität ist AC ⁰Reduzierbar auf den Graphisomorphismus bedeutet dies, dass der Graphisomorphismus unter der durch AC ⁰ -Reduktionen definierten Reihenfolge strikt härter ist als der Gruppen- oder Quasigruppenisomorphismus .