Wir betrachten DAGs (Directed Acyclic Graphs) mit einem Quellknoten s
Frage: Reicht es aus, höchstens etwa 1 / k1/k Kanten einer DAG zu entfernen , um alle ss - t -t Pfade zu zerstören, die länger als k sindk ?
Das heißt, wenn e ( G )
- Wenn alle s
s - t-t Pfade eine Länge > k haben>k , liegt ein k-k Schnitt mit ≤ e ( G ) / k≤e(G)/k Kanten vor. Dies gilt, weil es dann kk disjunkte k-k Schnitte geben muss : Schichte die Knoten von G einfachG entsprechend ihrem Abstand vom Quellknoten ss . - Wenn G = T n
G=Tn ein transitives Turnier ist (eine vollständige DAG), dann auch ein k-k Schnitt mit ≤ k ( n / k2 ) ≈e(G)/k≤k(n/k2)≈e(G)/k Kanten existieren: Fixiere eine topologische Reihenfolgeder Knoten, teile die Knoten in kk aufeinanderfolgende Intervalle der Längen/k aufn/k und entferne alle Kanten, die die Knoten des gleichen Intervalls verbinden; Dadurch werden alless -t-t Pfade zerstört, die länger alsk sindk .
Bemerkung 1: Ein naiver Versuch, eine positive Antwort zu geben (was ich auch als erstes versucht habe ) wäre zu zeigen, dass jede DAG über k
Anmerkung 2: Es ist wichtig , dass ein k -Schnitt nur benötigt , um alles lange zu zerstören s - t Pfade und nicht notwendigerweise alle langen Wege. Es gibt nämlich 1 DAGs, in denen jeder "reine" k- Schnitt (unter Vermeidung von Kanten, die auf s oder t fallen ) fast alle Kanten enthalten muss. Meine Frage ist also tatsächlich: Kann die Möglichkeit, auch mit s oder t einfallende Kanten zu entfernen , die Größe eines k- Schnitts wesentlich verringern ? Höchstwahrscheinlich ist die Antwort negativ, aber ich konnte noch kein Gegenbeispiel finden.
Motivation: Meine Frage ist durch den Nachweis der unteren Schranken für monotone Schalt- und Gleichrichternetze motiviert. Ein solches Netzwerk ist nur eine DAG, deren Kanten zum Teil durch Tests mit "is x i = 1 ?" (es gibt keine Tests x i = 0 ). Die Größe eines Netzwerks ist die Anzahl der beschrifteten Kanten. Ein Eingabevektor wird akzeptiert, wenn es einen s - t - Pfad gibt, dessen Tests mit diesem Vektor übereinstimmen. Markov hat bewiesen, dass, wenn eine monotone Boolesche Funktion f keine kürzeren Intervalle als l und keine kürzeren Intervalle als w hat , die Größe l ist
1 Die Konstruktion ist in diesem Artikel angegeben.
Nehmen Sie einen vollständigen binären Baum T der Tiefe log n . Alle Kanten entfernen. Zeichnen Sie für jeden inneren Knoten v eine Kante zu v von jedem Blatt des linken Teilbaums von T v und eine Kante von v zu jedem Blatt des rechten Teilbaums von T v . Somit sind alle zwei Blätter von T durch einen Pfad der Länge 2 in der DAG verbunden. Die DAG selbst hat ~ n Knoten und ~ n log n Kanten, aber Ω ( n