Wie viele disjunkte Kantenschnitte muss eine DAG haben?

Die folgende Frage an die Optimalitäts des Bellman-Ford im Zusammenhang - kürzester Weg dynamischen Programmier - Algorithmus (siehe diesen Beitrag für eine Verbindung). Eine positive Antwort würde auch bedeuten, dass die minimale Größe eines monotonen nichtdeterministischen Verzweigungsprogramms für das STCONN- Problem . t Θ ( n 3$s$$t$$\Theta(n^3)$

Sei eine DAG (gerichteter azyklischer Graph) mit einem Quellknoten s und einem Zielknoten t . Ein k - Schnitt ist eine Menge von Kanten, deren Entfernung alle s - t Pfade mit einer Länge ≥ k zerstört ; wir nehmen an, dass es solche Pfade in G gibt . Beachten Sie, dass kürzere s - t - Pfade nicht zerstört werden müssen.$G$$s$$t$$k$$s$$t$$\geq k$$G$$s$$t$

Frage: Muss mindestens (ungefähr) k disjunkte k- Schnitte haben? $G$$k$ $k$

Wenn es keine kürzeren - t - Pfade als k gibt , lautet die Antwort JA, da Robacker ^∗ die folgende bekannte Min-Max-Tatsache (ein Dual zu Mengers Theorem ) zugeschrieben wird . Ein s - t - Schnitt ist ein k - Schnitt für k = 1 (zerstört alle s - t Pfade).$s$$t$$k$^$\ast$$s$$t$$k$$k=1$ $s$$t$

Fakt: In jedem gerichteten Graphen entspricht die maximale Anzahl von kantendisjunkten - t - Schnitten der minimalen Länge eines s - t Pfads. $s$$t$$s$$t$

Beachten Sie, dass dies auch dann gilt, wenn der Graph nicht azyklisch ist.

Beweis: Trivialerweise ist das Minimum mindestens das Maximum, da jeder - t - Pfad jeden s - t Schnitt in einer Kante schneidet. Um Gleichheit zu sehen, sei d ( u ) die Länge eines kürzesten Weges von s nach u . Sei U r = { u : d ( u ) = r } , für r = 1 , … , d ( t ) , und sei E $s$$t$$s$$t$$d(u)$$s$$u$$U_r=\{u\colon d(u)=r\}$$r = 1,\ldots, d(t)$$E_r$sei die Menge der Kanten, die . Es ist klar, dass die Mengen E r disjunkt sind, weil die Mengen U r solche sind. Es bleibt also zu zeigen, dass jedes E r ein s - t- Schnitt ist. Um dies zu zeigen, nehmen eine beliebige s - t Pfad p = ( u 1 , u 2 , ... , u m ) mit u 1 = s und u m = t . Da $U_r$$E_r$$U_r$$E_r$$s$$t$$s$$t$$p=(u_1, u_2, \ldots,u_m)$$u_1=s$$u_m=t$ , die Folge der Abstände d ( u 1 ) , … , d ( u m ) muss den Wert d ( u m ) = d ( t ) erreichen, indem bei d begonnen wird ( u 1 ) = d ( s ) = 0 und Erhöhen des Wertes um höchstens$d(u_{i+1})\leq d(u_i)+1$$d(u_1),\ldots,d(u_m)$$d(u_m)=d(t)$$d(u_1)=d(s)=0$$1$in jedem Schritt. Wenn ein Wert verringert wird, müssen wir letzteren Wert d ( u i ) erreichen . Es muss also ein j geben, bei dem ein Sprung von d ( u j ) = r nach d ( u j + 1 ) = r + 1 stattfindet, was bedeutet, dass die Kante ( u j , u j + 1 ) zu E r gehört , as erwünscht. QED $d(u_i)$$d(u_i)$$j$$d(u_j)=r$$d(u_{j+1})=r+1$$(u_j,u_{j+1})$$E_r$

Was aber, wenn es auch kürzere (als ) Wege gibt? Irgendwelche Hinweise / Hinweise? $k$

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JT Robacker, Min-Max-Theoreme über kürzeste Ketten und disjunkte Schnitte eines Netzwerks, Forschungsmemorandum RM-1660, The RAND Corporation, Santa Monica, Kalifornien, [12. Januar] 1956. $^{\ast}$

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EDIT (ein Tag später): über ein kurzes und sehr schönes Argument, antwortete David Eppstein die ursprüngliche Frage oben in Negativ : die komplette DAG (a transitiv Turnier ) kann nicht mehr als vier disjunkt k -Schnitte! Tatsächlich beweist er die folgende interessante strukturelle Tatsache für k ungefähr $T_n$$k$$k$ . Ein Schnitt istrein,wenn er keine Kanten enthält, die aufsodert fallen.$\sqrt{n}$$s$$t$

Jeder reine Schnitt in T n enthält einen Pfad der Länge k . $k$$T_n$$k$

Dies impliziert insbesondere, dass sich alle zwei reinen Schnitte schneiden müssen! Aber vielleicht gibt es noch viele reine k- Schnitte, die sich nicht "zu sehr" überlappen. Daher eine entspannte Frage (die Konsequenzen für STCONN wären dieselben ):$k$$k$

Frage 2: Wenn jeder reine Schnitt ≥ M Kanten hat, muss der Graph dann ungefähr Ω ( k ⋅ M ) Kanten haben? $k$$\geq M$$\Omega(k\cdot M)$

Der Zusammenhang mit der Komplexität von STCONN ergibt sich aus dem Ergebnis von Erdős und Gallai, dass man alle außer Kanten von (ungerichteten) K m entfernen muss, um alle Pfade der Länge k zu zerstören . $(k-1)m/2$$K_m$$k$

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EDIT 2: Ich habe jetzt Frage 2 bei mathoverflow gestellt .

Kurze Antwort: nein.

Sei eine vollständige DAG (transitives Turnier) auf n Eckpunkten mit s und t als Quelle und Senke und sei k = $G$$n$$s$$t$ . Beachtendass es höchstens vier disjunkte Schnitte werden kanndie mehr tham enthaltenn/3Kanten Vorfallsoder mehr alsn/3Kanten Vorfallt. Wenn es also viele disjunkte Schnitte geben soll, können wir annehmen, dass es einen SchnittC gibt, der keine große Anzahl von Kanten enthält, die aufsundt fallen.$k=\sqrt{n/3}$$n/3$$s$$n/3$$t$$C$$s$$t$

Nun sei der vollständige Teilgraph, der in G durch die Menge der Eckpunkte x induziert wird, so dass die Kanten s x und x t nicht zu C gehören . Die Anzahl der Eckpunkte in X beträgt mindestens n / 3 , da C sonst zu viele Kanten berühren würde, die auf s oder t fallen . Allerdings X ∖ C kann kein enthalten k -Pfad, denn wenn ein solcher Weg existiert es mit verkettet werden könnte s und t bilden einen langen Weg in $X$$G$$x$$sx$$xt$$C$$X$$n/3$$C$$s$$t$$X\setminus C$$k$$s$$t$ . Daher hat dieSchicht mitdem längsten Pfad von X ∖ C weniger als k Schichten und eine Schicht, die mehr als ( n / 3 ) / k = k Eckpunkte enthält. Da dies eine Schicht mit der längsten Pfadschicht ist, ist sie in X ∖ C unabhängigund daher in C vollständig, sodass C einen Pfad P durch die Eckpunkte dieser Schicht mit der Länge k enthält . Dieser Pfad muss von allen anderen Schnitten getrennt sein.$G\setminus C$$X\setminus C$$k$$(n/3)/k=k$$X\setminus C$$C$$C$$P$$k$

Jeder Schnitt, der nicht muss entweder die Kante von s bis zum Anfang von Pfad P oder die Kante vom Ende von Pfad P bis t enthalten , sonst würde er den Pfad s - P - t nicht blockieren . Wenn also C existiert, kann es höchstens drei disjunkte Schnitte geben. Und wenn C nicht existiert (dh wenn alle Schnitte mehr als n / 3 Kanten abdecken, die auf s oder t fallen ), kann es höchstens vier disjunkte Schnitte geben. In jedem Fall ist dies viel weniger als k Schnitte.$C$$s$$P$$P$$t$$s$$P$$t$$C$$C$$n/3$$s$$t$$k$