Können wir die Kolmogorov-Komplexität nicht ausgeben?

Wir wollen eine Präfix-freie Kodierung von Turing-Maschinen und eine universelle Turing-Maschine U festlegen $U$, die bei Eingabe $(T,x)$ (kodiert als Präfix-freier Code von $T$ gefolgt von $x$ ) alle $T$ Ausgaben bei Eingabe x ausgibt $x$(möglicherweise) beide laufen für immer). Definiert die Kolmogorov - Komplexität von $x$ , $K(x)$ , wie die Länge des kürzesten Programm $p$ , so dass $U(p)=x$ .

$T$$x$$T(x)\le |x|$$x$$T(x)\ne K(x)$$\liminf_{|x|\rightarrow \infty} T(x)=\infty$

Die Bedingungen sind notwendig, weil

(a) wennDann wäre es einfach, eine Zahl auszugeben, die sich trivial von K (x) unterscheidet, weil sie größer als | x | + c_U ist.T ( x ) ≰ | x | K ( x ) | x | + c $T(x)\not \le |x|$$K(x)$$|x|+c_U$

(b) Wenn $\liminf_{|x|\rightarrow \infty} T(x)<C$ erlaubt ist, können wir für fast alle Zahlen einfach $0$ (oder eine andere Konstante) ausgeben , indem wir "zum Glück" höchstens eine davon erraten (endlich viele Zahlen), die zu $0$ (zu einer anderen Konstante) auswerten und dort etwas anderes ausgeben. Wir können sogar \ limsup_ {| x | \ rightarrow \ infty} T (x) = \ infty garantieren, indem wir $\limsup_{|x|\rightarrow \infty} T(x)=\infty$etwas wie $2\log n$ für x = 2 ^ n ausgeben $x=2^n$.

Beachten Sie auch, dass unsere Aufgabe einfach wäre, wenn wir wissen, dass $T(x)$ nicht surjektiv ist, aber wenig darüber bekannt ist , sodass die Antwort möglicherweise von U abhängt $U$, obwohl ich dies bezweifle.

Ich weiß, dass Beziehungen im Allgemeinen viel studiert werden, aber

Hat jemand jemals eine ähnliche Frage gestellt, bei der es unser Ziel ist, einen Algorithmus anzugeben, der keine Parameter ausgibt?

Meine Motivation ist dieses Problem http://arxiv.org/abs/1302.1109 .

Die Frage kann wie folgt umformuliert werden: , und wie Denis in den Kommentaren ausführt Dies ist für einige Codierungen falsch. Hier ist eine schwächere Aussage und ein versuchter Beweis dafür, der von keinerlei Details der Kodierung abhängt. Der Einfachheit halber gehe ich von einer Binärsprache aus:$\lim \inf_{\vert x \vert \rightarrow \infty}{\vert T(x) - K(x) \vert} = 0$

Sei eine berechenbare Funktion, die und erfüllt. . Dann . Informell kann es keine berechenbare Funktion verhindern, dass ein Ziel um die Kolmogorov-Komplexität jeder Saite herum getroffen wird, das unbegrenzt weit wächst.T : { 0 , 1 } ∗ → N 0 ≤ T ( x ) ≤ | x | lim inf | x | → ∞ T ( x ) = ∞ lim inf | x | → ∞ | T ( x ) - K ( x ) | < $T:\{0,1\}^* \rightarrow \mathbb{N}$$0 \le T(x) \le \vert x \vert$$\lim \inf_{\vert x \vert \rightarrow \infty}{T(x)} = \infty$$\lim \inf_{\vert x \vert \rightarrow \infty}{\vert T(x) - K(x) \vert} \lt \infty$

Um dies zu sehen, sei eine zufällige Bit-Zahl, dh und . Für alle solches zufälliges . Beachten Sie auch, dass es unendlich viele Werte von für die gilt. Dies folgt aus den Bedingungen, die an . Nun sei die kleinste Zeichenkette, so dass . Es ist klar, dass es eine Konstante so dass , weil undn b 0 ≤ n < 2 b K ( n ) ≥ b b n b | { T ( x ) = b } | ≥ 2 b T x n th T ( x ) = b c 1 K ( x ) > b - c 1 K ( x ) < b + c 2$n$$b$$0 \le n \lt 2^b$$K(n) \ge b$$b$$n$$b$$\vert \{T(x) = b\} \vert \ge 2^b$$T$$x$$n^{\text{th}}$$T(x) = b$$c_1$$K(x) \gt b - c_1$ K ( n ) ≥ b n x c $K(n) \ge b$$n$kann aus berechnet werden . Und es gibt eine Konstante so dass , weil auch von oben nur durch eine Konstante von mehr als ist und aus berechnet werden kann . Dann ist , und wir haben eine unendliche Anzahl von Möglichkeiten für (diejenigen mit einem Vorbild der Kardinalität von mindestens ), was eine unendliche Anzahl von Werten ergibt für sind wir also fertig.$x$$c_2$$K(x) \lt b + c_2$ ( n ) b x n | K ( x ) - T ( x ) | < c 1 + c 2 b 2 b$K(n)$$b$$x$$n$$\vert K(x) - T(x) \vert \lt c_1 + c_2$$b$$2^b$$x$

Eine Folge ist , dass für einige , unendlich oft. Man könnte also sagen, wir können nichts ausgeben, was nicht der Komplexität von Kolmogorov entspricht!c ≤ Z T ( x ) = K ( x ) + $c \in \mathbb{Z}$$T(x) = K(x) + c$

Ich denke das folgende funktioniert. Ich werde für die Kolmogorov-Komplexität verwenden$C(x)$

• Geben Sie eine Zeitgrenze (etwa eine Exponentialfunktion der Länge des Eingabeprogramms) und rufen Sie das Ergebnis . Wenn ein Programm die Zeitgrenze überschreitet, tritt in eine Endlosschleife ein.$U$$t$$U^t$$U^t$
• Sei das kürzeste Programm für auf . Beachten Sie, dass C t berechenbar ist.$C^t(x)$$x$$t$$C^t$
• Lassen Sie T ( x ) zurückkehren C t ( x ) + 1 , es sei denn , dieser Wert ist gleichIn diesem Fall wird 0 zurückgegeben. In diesem Fall wird 1 zurückgegeben, es sei denn, ist die Ausgabe des leeren Programms.$T(x)$$C^t(x) + 1$$|x|$$x$
• Da , unterscheidet sich immer von . Die Logik im vorherigen Schritt kümmert sich um die Randfälle.$C(x) \leq C^t(x)$$T(x)$$C(x)$
• $U^t$ fungiert als Code für alle Zeichenfolgen und hat daher eine eingeschränkte Unendlichkeit.