Der Beweis für die Komplexität von Kolmogorov ist mit Reduktionen nicht berechenbar

Ich suche nach einem Beweis dafür, dass die Komplexität von Kolmogorov nicht berechenbar ist, indem ich ein anderes nicht berechenbares Problem reduziere. Der übliche Beweis ist eher eine Formalisierung von Berrys Paradoxon als eine Reduktion, aber es sollte einen Beweis geben, indem man von etwas wie dem Halteproblem oder dem Korrespondenzproblem der Post reduziert.

Sie finden zwei verschiedene Beweise in:

Gregory J. Chaitin, Cristian Calude, Asat Arslanov: Komplexität in Programmgröße berechnet das Halteproblem. Bulletin des EATCS 57 (1995)

In Li, Ming, Vitányi, Paul MB; Eine Einführung in die Kolmogorov-Komplexität und ihre Anwendungen wird als Übung vorgestellt (mit einem Hinweis zur Lösung, der P. Gács von W. Gasarch in einer persönlichen Mitteilung vom 13. Februar 1992 zugeschrieben wird).

** Ich habe beschlossen, eine erweiterte Version davon in meinem Blog zu veröffentlichen .

Es war eine lustige Frage, darüber nachzudenken. Wie in der anderen Antwort und den Kommentaren unten beschrieben, gibt es eine Turing-Reduzierung vom Halting-Problem zur Berechnung der Kolmogorov-Komplexität, aber insbesondere gibt es keine solche Reduzierung von vielen, zumindest für eine Definition der "Berechnung der Kolmogorov-Komplexität".

Lassen Sie uns formal definieren, wovon wir sprechen. Es sei die Standardsprache von TMs, die anhalten, wenn eine Beschreibung ihrer selbst als Eingabe gegeben wird. Lassen K O bezeichnen { ⟨ x , k ⟩ | x  hat Kolmogorov Komplexität genau  k } .$HALT$$KO$$\{ \langle x,k \rangle \mid x \text{ has Kolmogorov complexity exactly } k \}$

Es sei angenommen, dass durch eine Reduktion um viele ist. Sei f : { 0 , 1 } ∗ → { 0 , 1 } ∗ die Funktion, die diese Reduktion berechnet. Betrachten Sie das Bild von H A L T unter f , das ich mit f ( H A L T ) bezeichnen werde .$HALT \le KO$$f: \{0,1\}^* \rightarrow \{0,1\}^*$$HALT$$f$$f(HALT)$

Hinweis besteht aus Ketten von der Form ⟨ x , k ⟩ wo x Kolmogorov - Komplexität hat genau k . Ich behaupte, dass die ks , die in f ( H A L T ) vorkommen, unbegrenzt sind, da es nur eine endliche Anzahl von Strings mit Kolmogorov-Komplexität genau k gibt und f ( H A L T ) unendlich ist.$f(HALT)$$\langle x,k\rangle$$x$$k$$k$$f(HALT)$$k$$f(HALT)$

Da rekursiv aufzählbar ist (in einigen Büchern auch als Turing erkennbar), folgt, dass f ( H A L T ) rekursiv aufzählbar ist. In Verbindung mit der Tatsache , dass die k ‚s sind unbegrenzt, können wir aufzählen f ( H A L T ) , bis wir einige finden ⟨ x , k ⟩ mit k so groß , wie wir wollen; dh es existiert eine TM M , dass am Eingang k ausgibt , ein Element ⟨ x , k $HALT$$f(HALT)$$k$$f(HALT)$$\langle x,k\rangle$$k$$M$$k$ .$\langle x,k \rangle \in f(HALT)$

Schreiben Sie ein neues TM , das Folgendes ausführt: Berechnen Sie zuerst | M ' | unter Verwendung des Rekursionssatzes von Kleene. Abfrage M mit Eingabe | M ' | + 1 erhalten ⟨ x , | M ' | + 1 ⟩ ∈ F ( H A L T ) . Ausgabe x .$M'$$|M'|$$M$$|M'|+1$$\langle x, |M'|+1\rangle \in f(HALT)$$x$

Klar , dass die Ausgabe von M ' ist eine Zeichenkette mit Kolmogorov Komplexität höchstens | M ' | aber ⟨ x , | M ' | + 1 ⟩ ∈ F ( H A L T ) , die ein Widerspruch.$x$$M'$$|M'|$$\langle x, |M'|+1\rangle \in f(HALT)$

Ich glaube, Sie können auch das Problem "Kolmogorov-Komplexität genau " durch "Kolmogorov-Komplexität mindestens k " mit geringfügigen Änderungen ersetzen .$k$$k$