Liste zahlentheoretischer oder algebraischer Probleme in verschiedenen Komplexitätsklassen

Ich suche eine Liste über die bekannte oder unbekannte Komplexität verschiedener zahlentheoretischer / algebraischer Probleme. Beispielsweise,

• GCD in ist offen,$NC^1$
• Factoring in ist offen,$P$
• Computing Sheaf Cohomology ist -hard$\#P$ ,
• Arora und Barak Zustand , dass eine Variante des Factorings ist - vollständig (obwohl dies ist nicht klar , auf der Grundlage der Diskussion um eine NP-vollständige Variante des Factorings. ),$NP$
• Die bahnbrechende Arbeit von Barbulescu et al. Über diskrete Logarithmen .

Adleman hat einmal eine Liste veröffentlicht, die sich auf und aber sie scheint veraltet zu sein. Mumford hat eine Arbeit darüber, was in der algebraischen Geometrie ohne Rücksicht auf die Komplexität berechenbar ist.N $P$$NP$

Kennt jemand eine Liste von (Haupt-) Entdeckungen, seitdem diese Listen veröffentlicht wurden?

Was sind einige Probleme einer zahlentheoretischen / algebraischen Variante, deren Komplexitätsklassen möglicherweise bereits bekannt sind (seit die obigen Listen veröffentlicht wurden), unbekannt, aber vermutet oder unbekannt und nicht vermutet?

Einige Problemwege könnten Interpolationsprobleme (univariate oder multivariate über verschiedene Felder), der chinesische Restsatz, die Komplexität der Punktzählung über Kurven usw. sein.

Algebraische Geometrie

• Derzeit ist nur bekannt, dass das Noether-Normalisierungs-Lemma (NNL) für explizite Varietäten in (wie allgemeines NNL) enthalten ist, es wird jedoch vermutet , dass es sich bei P um P handelt (und P unter der Annahme, dass PIT eine Blackbox sein kann) derandomisiert). Update 18.04.18: Es wurde kürzlich gezeigt, dass für die Sorte ¯ V $\mathsf{EXPSPACE}$$\mathsf{P}$$\mathsf{P}$$\overline{\mathsf{VP}}$ um über die Rationen ( Forbes & Shpilka) und dann über beliebige Felder ( Guo, Saxena & Sinhababu ).$\mathsf{PSPACE}$

• Testen, ob eine gegebene Menge von Polynomen eine algebraische Abhängigkeit hat. Dieses Problem wurde vor kurzem in seine gezeigten $\mathsf{AM} \cap \mathsf{coAM}$ von Guo, Saxena, & Sinhababu (obere der Verbesserung der früheren gebundenen aufgrund Mittmann, Saxena, & Scheblechner , auch auf der arXiv ).$\mathsf{NP}^{\mathsf{\# P}}$

• Es gibt mehrere ( arXiv ) neue Algorithmen zur Berechnung topologischer Invarianten komplexer Sorten (mit verschiedenen Einschränkungen wie Glätte usw.). Ich glaube, für die meisten davon ist die optimale Obergrenze noch offen.

• Hilbert Nullstellensatz (HN): integer Polynome gegeben, zu entscheiden , ob sie eine gemeinsame komplexe Lösung haben, ist in unter der Annahme , GRH ( Koiran ). Es ist nicht bekannt, ob es sich um N P handelt .$\mathsf{AM}$$\mathsf{NP}$

• Algorithmen zur Auflösung von Singularitäten algebraischer Varietäten im Merkmal Null. Die aktuelle Obergrenze für die beste Zeit aufgrund von Bierstone, Grigoriev, Milman und Włodarczyk ist wobei d die Dimension der Sorte und E ∙ die Grzegorczyk-Hierarchie der primitiven rekursiven Funktionen ist . Es sind nicht besonders gut (welche?) Untere Schranken für dieses Problem, aber für ein scheinbar viel einfacheren Probleme im Zusammenhang untere Grenzen bekannt sind, nämlich: Es gibt Ideale in n Variablen in Grad erzeugte höchstens n , die erfordern , E n + $\mathcal{E}^{d+3}$$d$$\mathcal{E}^{\bullet}$$n$$n$$\mathcal{E}^{n+1}$solche Generatoren. Die derzeitige Obergrenze für die Auflösung von Singularitäten ist vielleicht nicht weit von der Wahrheit entfernt, aber es ist wirklich wenig bekannt.

Isomorphismusprobleme

• Viele Probleme bei Permutationsgruppen - wie Coset-Schnittmenge, Permutationsgruppen-Isomorphismus usw. - liegen in , aber es ist unbekannt, ob sie in N P ∩ c o N P liegen , und es wird vermutet, dass sie vorliegen nicht in sind P . Der Graphisomorphismus reduziert sich auf die meisten dieser Probleme, sodass eine bessere Obergrenze für sie eine bessere Obergrenze für den GI impliziert.$\mathsf{NP} \cap \mathsf{coAM}$$\mathsf{NP} \cap \mathsf{coNP}$$\mathsf{P}$

• Insbesondere für Permutation Gruppenisomorphismus, die derzeit beste obere Schranke ist $2^{O(n)}|G|$, und es ist offen, ob es in -Zeit (abhängig nur vom Grad der Permutationsgruppe und nicht von ihrer Reihenfolge) durchgeführt werden kann, geschweige denn in Quasi-Poly-Zeit wie GI und Coset-Schnittmenge .$2^{O(n)}$

• Der Gruppenisomorphismus, bei dem Gruppen durch Multiplikationstabellen angegeben werden, ist bekanntermaßen in , wird jedoch in P vermutet . Bekanntermaßen in P für mehrere Klassen von Gruppen (Update 18.04.18: und ein paar ( arXiv ) mehr ( arXiv )), aber nicht im Allgemeinen.$\mathsf{TIME}(n^{O(\log n)})$$\mathsf{P}$$\mathsf{P}$

Andere

• Update 4/18/18: Tensor Rang über ein beliebiges Feld ist ∃ F -komplette ( Schaefer & Stefankovic ). Liegt der Tensorrang in N P über Q ? Es ist bekannt, dass N P -hard ( Håstad ) und über endliche Felder ist es in N P .$\mathbb{F}$$\exists \mathbb{F}$$\mathbb{Q}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}$

• Allgemeiner gesagt , viele Probleme auf Tensoren über sind N P -hard aber nicht bekannt, dass sie in N P ( Hillar und Lim , auch auf dem arXiv ).$\mathbb{Q}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}$

Es scheint (etwas traurig), dass die Adleman-McCurley-Umfrage, obwohl sie 21 Jahre alt ist, in Bezug auf zahlentheoretische Probleme ziemlich aktuell ist, mit Ausnahme der Tatsache, dass wir jetzt wissen, dass $\mathsf{PRIMES}$$\mathsf{P}$

Ein paar mehr mit Schwerpunkt auf Galois-Theorie und rechnergestützter Galois-Theorie (siehe verwandte Frage zu cs.SE ):

$\mathbb{Z}$$\mathbb{P}$ Ref "Lösbarkeit durch Radikale in polynomieller Zeit", S. Landau GL Miller 1984

$NP$

Wiedergabe aus verknüpfter Frage zu MO