Ist die Komplexität dieses Abdeckungsproblems bekannt?

Sei ein Graph. Eine Scheitelpunktmenge wird als kritisch bezeichnet, wenn und kein Scheitelpunkt in genau einem Scheitelpunkt in benachbart ist . Das Problem besteht darin, eine Scheitelpunktmenge mit minimaler Größe zu finden, so dass für jede kritische Menge . $G=(V,E)$ $X\subseteq V$ $X\neq\emptyset$ $V\setminus X$ $X$ $S\subseteq V$ $S\cap X\neq\emptyset$ $X$

Das Problem hat die folgende Interpretation, die Gerüchte verbreitet: Vertex verbreitet das Gerücht genau dann an seinen Nachbarn wenn alle anderen Nachbarn von bereits informiert sind. Die Frage ist dann, wie viele Eckpunkte ich zunächst informieren muss, um sicherzustellen, dass am Ende alle informiert sind. $i$ $j$ $i$

— Thomas Kalinowski
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Dies hat eine ziemlich einfache Lösung, daher hat das Problem möglicherweise mehr Bedingungen als angegeben. Wenn der Sonderfall ignoriert wird und verbunden ist, ist jedem Scheitelpunkt mit Grad eine kritische Menge zugeordnet, sodass nur Nachbarn von ausschließlich Grad 1-Scheitelpunkten in . Wenn ein solcher Scheitelpunkt vorhanden ist , dann ist ein Stern Diagramm und sein Zentrum (als Singleton) die einzigartige minimal ist . Wenn nicht angeschlossen ist, sehen Sie sich jede angeschlossene Komponente an.

X = V

$X=V$

G

$G$

v

$v$

> 1

$>1$

V ∖ {v}

$V\setminus\{v\}$

S

$S$

G

$G$

S

$S$

G

$G$

— Joe Bebel

K_{1, n}

$K_{1,n}$

n ⩾ 2

$n\geqslant 2$

n - 1

$n-1$

Oh, ich sehe meine falsche Interpetation

— Joe Bebel

Sehr interessante Frage, ein kleiner Streitpunkt: Sie möchten wahrscheinlich, dass Ihre kritischen Sätze nicht leer sind (ansonsten gibt es kein ).

S

$S$

— Klaus Draeger

@ JoeBebel: Das Entscheidungsproblem "Gibt es eine Lösungsmenge einer Größe von höchstens ?" ist in NP. Mit dem folgenden Algorithmus können Sie überprüfen, ob eine Menge eine Lösung ist. Zwar gibt es eine Vertex die genau auf Nachbar hat außerhalb , addieren zu . Wenn schließlich alle Eckpunkte enthält, war Ihre anfängliche Menge eine Lösung, andernfalls stecken Sie fest, und das Komplement der endgültigen Menge ist eine kritische Menge, sodass die anfängliche keine Lösung war.

S

$S$

K

$K$

S

$S$

v \in S

$v\in S$

w

$w$

S

$S$

w

$w$

S

$S$

S

$S$

S

$S$

— Thomas Kalinowski

Das Problem ist als Ausbreitungsproblem bekannt . Aazami hat in seiner Doktorarbeit bewiesen, dass die gewichtete Version NP-vollständig ist, selbst wenn der Graph planar ist und die Knotengewichte in . Die Komplexität für die ungewichtete Version scheint ein offenes Problem zu sein. $\{0,1\}$

— Thomas Kalinowski
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